Forme differenziali come sezioni i un fibrato
Ciao a tutti! Ripensando alla definizione di k-forma differenziale mi è sorto un dubbio:
Dato il fibrato vettoriale $ pi:^^ ^kT^**M->M $ una sezione di tale fibrato è un'applicazione liscia $ s:M->^^ ^kT^**M $ tale che ad un punto $ p $ associa la coppia $ (p,w(p)) $ dove $ w(p)inwedge^kT_p^**M $ .
Se definiamo k-forma differenziale una sezione di questo tipo ho che la forma differenziale è la coppia $ (p,w(p)) $ e non l'applicazione $w:p|-> w(p)$ come è solito pensare...
So che è solo una questione di notazioni ma non mi va giù una cosa del genere. C'è un modo più preciso di vedere le cose o bisogna per forza fare questo sforzo e vedere una forma differenziale in maniera diversa da come viene definita?
Grazie per l'aiuto!
Dato il fibrato vettoriale $ pi:^^ ^kT^**M->M $ una sezione di tale fibrato è un'applicazione liscia $ s:M->^^ ^kT^**M $ tale che ad un punto $ p $ associa la coppia $ (p,w(p)) $ dove $ w(p)inwedge^kT_p^**M $ .
Se definiamo k-forma differenziale una sezione di questo tipo ho che la forma differenziale è la coppia $ (p,w(p)) $ e non l'applicazione $w:p|-> w(p)$ come è solito pensare...
So che è solo una questione di notazioni ma non mi va giù una cosa del genere. C'è un modo più preciso di vedere le cose o bisogna per forza fare questo sforzo e vedere una forma differenziale in maniera diversa da come viene definita?
Grazie per l'aiuto!
Risposte
Scusa, ma quale sarebbe lo sforzo? Poi ti ricordo che le \(\displaystyle k\)-forme sono definite localmente su una varietà differenziabile; ma poiché le carte sono definite opportunamente, non ci pensi più di tanto. Concordi?
Il problema è che una sezione è un'applicazione $ w:M->^^ ^kT^**M $ e quindi $w(p)=(p,w_p)$ mentre di solito una k-forma la si scrive come $w(p)=w_p$ cioè $w:M->^^ ^kT_p^**M$...
Non capisco cosa vuoi dire quando fai riferimento alle carte e al fatto che le forme sono definite localmente...
Non capisco cosa vuoi dire quando fai riferimento alle carte e al fatto che le forme sono definite localmente...
"Pierlu11":Ho scritta una sciocchezza;
...Non capisco cosa vuoi dire quando fai riferimento alle carte e al fatto che le forme sono definite localmente...
ciò che volevo scrivere, è che tu per lavorare effettivamente con una forma differenziale \(\displaystyle\omega\) (leggasi: vuoi fare i calcoli) devi lavorare su una carta fissata della varietà differenziabile; e le funzioni che così compaiono dipendo dalla carta scelta.
Non c'è bisogno, poi ogni volta di indicare esplicitamente in quale punto tu stai lavorando, dato che ti interessa più che altro la carta ove tu lavori.
Ecco perché per abuso di notazione si scrive \(\displaystyle\omega:P\in M\to\omega_P\bigwedge^kT^{*}M\)...
Quindi è semplicemente una convenzione per non portarsi dietro il punto che in effetti serve solo a creare un distinzione tra i vari spazi cotangenti quando se ne fa l'unione... tanto le operazioni che si fanno con $w_p$ sono le stesse che si potrebbero definire per le coppie $(p,w_p)$. Giusto?
"Pierlu11":Più correttamente, le fai con \(\displaystyle\omega\); dimenticandoti dei punti della varietà
... tanto le operazioni che si fanno con $w_p$ sono le stesse che si potrebbero definire per le coppie $(p,w_p)$. Giusto?
Forse ho capito cosa intendi, ma per definire le operazioni per $w$ bisogna far riferimento a quelle definite sui vari spazi vettoriali "associati" ad ogni punto. Ad esempio $ (w+eta)(p):=w(p)+eta(p)= $ (per comodità) $ =w_p+eta_p $ definita sullo spazio vettoriale $ ^^ ^kT_p^**M $ ...
Vorrei farti notare che lo spazio \(\displaystyle \Lambda^k(T^*M) \) è uguale a \(\displaystyle \coprod_{x\in M} \Lambda^k(T_p^*M) \) dove con \(\displaystyle \coprod \) indico l'unione disgiunta. Dove l'uguaglianza è intesa in senso insiemistico. Quindi a tutti gli effetti si ha che \(\displaystyle \omega\colon p\mapsto \omega_p \) e non al tuo \(\displaystyle \omega\colon p\mapsto (p, \omega_p) \).
Seppur la tua notazione sia quasi corretta nel senso che esiste un diffeomorfismo tra \(\displaystyle \Lambda^k(T^*M) \) e \(\displaystyle M\times \mathbb{R}^{\binom{m}{k}} \cong M\times \Lambda^k\bigl((\mathbb{R}^{m})^*\bigr) \) in virtù del fatto che i vector bundle possiedono banalizzazioni locali (local trivializations in inglese).
Seppur la tua notazione sia quasi corretta nel senso che esiste un diffeomorfismo tra \(\displaystyle \Lambda^k(T^*M) \) e \(\displaystyle M\times \mathbb{R}^{\binom{m}{k}} \cong M\times \Lambda^k\bigl((\mathbb{R}^{m})^*\bigr) \) in virtù del fatto che i vector bundle possiedono banalizzazioni locali (local trivializations in inglese).
Il problema è che nel corso che ho seguito e sui testi di riferimento che ho utilizzato l'unione disgiunta è l'insieme di coppie ordinate di quel tipo e tutti i risultati mi sono stati presentati usando questa convenzione... (anche perché mi sembra il modo più sensato per definire un unione di quel tipo nella quale altrimenti due elementi uguali verrebbero presi una sola volta...)
L'unione disgiunta è il coprodotto nella categoria degli insiemi e le funzioni. Quindi il modo in cui è costruito materialmente è poco importante. Anche perché quel vector bundle può essere costruito in modo totalmente categoriale a partire dal funtore differenziabile \(\displaystyle \Lambda^k \).
Purtroppo In questo ambito non abbiamo proprio parlato di funtori e categorie visto che ancora non tratto questi argomenti, di conseguenza le definizioni che prendo in considerazione (come ad esempio quella di unione disgiunta) sono altre...
Non c'è bisogno di conoscere le categorie;
se vuoi, quel che conta non è il modo in cui costruisci il fibrato cotangente, ma le proprietà intrinseche del fibrato cotangente stesso!
In sostanza i fibrati \(\bigwedge^kT^{*}M\) li costruisci fibra per fibra, e poi verifichi che li puoi incollare assieme "opportunamente"; studi le loro proprietà, e definisci le \(\displaystyle k\)-forme differenziali come le sezioni (globali) di \(\displaystyle M\) in \(\bigwedge^kT^{*}M\).
Poi come ho cercato (e spero di essere riuscito) di spiegarti: non c'è bisogno che tu ti ricordi in ogni momento del punto su cui lavori...
se vuoi, quel che conta non è il modo in cui costruisci il fibrato cotangente, ma le proprietà intrinseche del fibrato cotangente stesso!
In sostanza i fibrati \(\bigwedge^kT^{*}M\) li costruisci fibra per fibra, e poi verifichi che li puoi incollare assieme "opportunamente"; studi le loro proprietà, e definisci le \(\displaystyle k\)-forme differenziali come le sezioni (globali) di \(\displaystyle M\) in \(\bigwedge^kT^{*}M\).
Poi come ho cercato (e spero di essere riuscito) di spiegarti: non c'è bisogno che tu ti ricordi in ogni momento del punto su cui lavori...
Se in altre parole intendi dire che le operazioni che definisco sul fibrato sono analoghe a quelle definite sui singoli spazi vettoriali (anzi definite proprio a partire da quelle) penso di aver capito... ma resta il fatto che concretamente dovrei scrivere la coppia $(p,w_p)$ anche se nella pratica mi basta considerare $w_p$.
E' questo che intendi?
E' questo che intendi?
Ci stavo ripensando oggi e tutto sommato mi sono reso conto che \(\displaystyle T_p^*M \) e \(\displaystyle T_q^*M \) non sono lo stesso insieme, cioè sono isomorfi (supponendo che si stiano considerando solo varietà connesse) ma non lo sono neanche in modo canonico. Stessa cosa vale quindi per le algebre tensoriali, esterne e simmetriche generate su di loro. Quindi non c'è neanche bisogno di dire che l'unione è disgiunta (a meno di voler evidenziare il fatto che la loro intersezione è nulla). L'uso della scrittura \(\displaystyle (p, \omega_p) \) (attenzione per le \(1\)-forme si usa in genere l'omega \(\displaystyle \omega \) e non un \(\displaystyle w \)) è più che altro per comodità nel senso che si scrive la proiezione su \(\displaystyle M \) come la proiezione sulla prima coordinata e rende la definizione delle carte molto più comoda. Inoltre è fatta per evidenziare che le fibre sono tra di loro isomorfe.
Detto questo, il punto focale dell'impostazione moderna della matematica è che ciò che conta sono le proprietà di un oggetto e non come sia costruito.
Detto questo, il punto focale dell'impostazione moderna della matematica è che ciò che conta sono le proprietà di un oggetto e non come sia costruito.
Se fossero tutti disgiunti in effetti non ci sarebbero problemi ma non penso che in generale sia così...
(Faccio un esempio con il fibrato tangente e i campi vettoriali che è più immediato)
Considero la circonferenza $ S^1 $: il versore tangente in $ A=(-1,0) $ è $ ul(e)_2 $ mentre quello in $ B= (1,0) $ è $ -ul(e)_2 $; allora $ T_AM=<>=<<-ul(e)_2>>=T_BM $ .
Non so se con i vettori astratti $ del/(delx)|_p $ cambia qualcosa ma non penso dovrebbe accadere...
(Faccio un esempio con il fibrato tangente e i campi vettoriali che è più immediato)
Considero la circonferenza $ S^1 $: il versore tangente in $ A=(-1,0) $ è $ ul(e)_2 $ mentre quello in $ B= (1,0) $ è $ -ul(e)_2 $; allora $ T_AM=<
Non so se con i vettori astratti $ del/(delx)|_p $ cambia qualcosa ma non penso dovrebbe accadere...
Che definizione usi di spazio tangente? Esame triennale o magistrale?
Per spazio tangente in un punto intendo lo spazio vettoriale generato dai vettori tangenti in quel punto (o nel caso astratto l'insieme di tutte le derivazioni nel punto).
E' un esame della triennale...
E' un esame della triennale...
Ho riletto tutto il thread e non capisco perché ti sei fissato con la notazione.
Data una \(\displaystyle k\)-forma differenziabile \(\displaystyle\omega\) su una varietà differenziabile \(\displaystyle M\), se la calcoli in \(\displaystyle P\) è ovvio che tu abbia \(\omega(P)\in\bigwedge^kT_P^{*}M\); quindi non c'è alcun bisogno che tu ti debba ricordare da qualche parte che devi tenere conto del punto in cui calcoli.
Concordi?
Data una \(\displaystyle k\)-forma differenziabile \(\displaystyle\omega\) su una varietà differenziabile \(\displaystyle M\), se la calcoli in \(\displaystyle P\) è ovvio che tu abbia \(\omega(P)\in\bigwedge^kT_P^{*}M\); quindi non c'è alcun bisogno che tu ti debba ricordare da qualche parte che devi tenere conto del punto in cui calcoli.
Concordi?
Concordo con il fatto che non ci sia bisogno di ricordarlo ma formalmente la costruzione è quella e $ omega(P)in{P}xx^^^^kT_P^**M $ anziché in $ ^^^^kT_P^**M $ altrimenti si avrebbe una funzione il cui codominio "dipende dal punto" in cui la si calcola.
La mia domanda in origine era proprio se scrivere $ omega(P)=omega_p in^^^^kT_P^**M $ è una convenzione scorretta ma comoda o c'è qualche passaggio che mi sfugge...
La mia domanda in origine era proprio se scrivere $ omega(P)=omega_p in^^^^kT_P^**M $ è una convenzione scorretta ma comoda o c'è qualche passaggio che mi sfugge...
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