Esercizio su Forme Quadratiche e Restrizioni
Buonasera a tutti, vi propongo questo esercizio preso direttamente dal testo di esame di algebra lineare:
Considerare, al variare di $ \lambda in RR$, l’applicazione bilineare simmetrica $g_\lambda : RR^3$ x $ RR^3 => RR$,
la cui corrispondente forma quadratica è data, nelle coordinate determinate dalla base canonica, da:
$q_\lambda (x, y, z) = \lambda(x^2 + y^2 + z^2) + 1/2\lambdaxz$
a) Determinare la matrice associata a $g_\lambda$ tramite la base canonica
b) Determinare i valori di $\lambda in RR$ per cui $g_\lambda$ è degenere
c) Calcolare la segnatura di $g_\lambda$
d) Calcolare la segnatura della restrizione di $g_\lambda$ al piano $\pi$ di equazione $2x − y + 3z = 0$
Per quanto riguarda i primi tre punti ci sono:
a) La matrice associata è:
$((\lambda,0,\lambda/4),(0,\lambda,0),(\lambda/4,0,\lambda))$
b) Si nota sia ad occhio sia facendo il determinante che $g_\lambda$ è degenere se $\lambda=0$
$det(g_\lambda) = 15/16\lambda^3$
c) Se :
$\lambda=0$ , $g_0$ è la matrice nulla e ha segnatura $(0,0,3)$
$\lambda>0$ , $g_\lambda$ ha segnatura $(3,0,0)$
$\lambda<0$ , $g_\lambda$ ha segnatura $(0,3,0)$
Ora mi blocco, non ho trovato nulla su internet ne sui libri riguardo alle restrizioni, volevo sapere se qualcuno di voi è così gentile da mettere un link, o una spiegazione per quanto riguarda la teoria, e se mi può spiegare la parte finale dell' esercizio, il punto d
Grazie a tutti in anticipo !
P.S. Il professore come soluzione al punto d ha proposto (anche se non riesco proprio a capirla, forse perché mi manca la teoria) questa :
L’applicazione $g_0$ è nulla, e quindi anche la sua restrizione a $\pi$ Dunque quando $\lambda= 0$ la segnatura cercata è $(0, 0, 2)$
Da adesso possiamo supporre $\lambda!=0$. Il vettore $v_1 = ((1,2,0)) $ appartiene al piano $\pi$ e $g_\lambda (v_1, v_1) = 5$.
Inoltre, un vettore generico $v =((x,2x+3z,z)) in \pi$ è $g_\lambda$–ortogonale a $v_1$ se e solo se
$g_\lambda (v,v_1) = (x, 2x + 3z, z)G_\lambda ((1,2,0)) = 5/4\lambda((4x + 5z))= 0$
Posto $v_2 =((5,−2,−4)) in \pi$, la coppia $(v_1,v_2)$ è una base $g_\lambda$–ortogonale di $\pi$ e $g_\lambda(v_2, v_2) = q_\lambda(v2) = 35\lambda$
Concludiamo che quando $\lambda !=0$ la segnatura di $g_\lambda$ ristretta a $\pi$ è $(2, 0, 0)$ se $\lambda> 0$ e $(0, 2, 0)$ se $\lambda< 0$
Considerare, al variare di $ \lambda in RR$, l’applicazione bilineare simmetrica $g_\lambda : RR^3$ x $ RR^3 => RR$,
la cui corrispondente forma quadratica è data, nelle coordinate determinate dalla base canonica, da:
$q_\lambda (x, y, z) = \lambda(x^2 + y^2 + z^2) + 1/2\lambdaxz$
a) Determinare la matrice associata a $g_\lambda$ tramite la base canonica
b) Determinare i valori di $\lambda in RR$ per cui $g_\lambda$ è degenere
c) Calcolare la segnatura di $g_\lambda$
d) Calcolare la segnatura della restrizione di $g_\lambda$ al piano $\pi$ di equazione $2x − y + 3z = 0$
Per quanto riguarda i primi tre punti ci sono:
a) La matrice associata è:
$((\lambda,0,\lambda/4),(0,\lambda,0),(\lambda/4,0,\lambda))$
b) Si nota sia ad occhio sia facendo il determinante che $g_\lambda$ è degenere se $\lambda=0$
$det(g_\lambda) = 15/16\lambda^3$
c) Se :
$\lambda=0$ , $g_0$ è la matrice nulla e ha segnatura $(0,0,3)$
$\lambda>0$ , $g_\lambda$ ha segnatura $(3,0,0)$
$\lambda<0$ , $g_\lambda$ ha segnatura $(0,3,0)$
Ora mi blocco, non ho trovato nulla su internet ne sui libri riguardo alle restrizioni, volevo sapere se qualcuno di voi è così gentile da mettere un link, o una spiegazione per quanto riguarda la teoria, e se mi può spiegare la parte finale dell' esercizio, il punto d
Grazie a tutti in anticipo !
P.S. Il professore come soluzione al punto d ha proposto (anche se non riesco proprio a capirla, forse perché mi manca la teoria) questa :
L’applicazione $g_0$ è nulla, e quindi anche la sua restrizione a $\pi$ Dunque quando $\lambda= 0$ la segnatura cercata è $(0, 0, 2)$
Da adesso possiamo supporre $\lambda!=0$. Il vettore $v_1 = ((1,2,0)) $ appartiene al piano $\pi$ e $g_\lambda (v_1, v_1) = 5$.
Inoltre, un vettore generico $v =((x,2x+3z,z)) in \pi$ è $g_\lambda$–ortogonale a $v_1$ se e solo se
$g_\lambda (v,v_1) = (x, 2x + 3z, z)G_\lambda ((1,2,0)) = 5/4\lambda((4x + 5z))= 0$
Posto $v_2 =((5,−2,−4)) in \pi$, la coppia $(v_1,v_2)$ è una base $g_\lambda$–ortogonale di $\pi$ e $g_\lambda(v_2, v_2) = q_\lambda(v2) = 35\lambda$
Concludiamo che quando $\lambda !=0$ la segnatura di $g_\lambda$ ristretta a $\pi$ è $(2, 0, 0)$ se $\lambda> 0$ e $(0, 2, 0)$ se $\lambda< 0$
Risposte
Io eseguire un cambio di sistema di riferimento in modo tal che \(\displaystyle\pi\) abbia equazione \(\displaystyle z=0\).
Poi che faresti?
Poi che faresti?
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