Limitatezza di una varietà differenziabile

[marco_r1]

Salve a tutti,
sto affrontando alcuni esercizi sulle varietà differenziabili immerse, generalmente definite come luogo degli zeri di un vincolo. Fra le altre cose si chiede di discuterne la compattezza, e dunque (in $\mathbbR^n$) chiusura e limitatezza.
Provare che una varietà è illimitata finora non mi ha dato problemi, ma nel caso opposto in cui devo provare che essa è limitata procedo sempre a "tentoni". So che non esiste un metodo generale per provare la limitatezza, ma sarei lieto se qualcuno riuscisse a darmi qualche spunto sulle possibili strade percorribili a tal fine.
A titolo di esempio, un esercizio in cui non sono riuscito a provare nulla è:
\[\mathcal{M}=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : (x^2+y^2+z^2)^2-xyz=1\}\]
Le idee che di solito cerco di adoperare sono:

[*:17sg8z66]cercare l'espressione esplicita della norma nell'espressione del vincolo e provare tramite quest'ultima a maggiorarla [/*:17sg8z66]
[*:17sg8z66]sfruttare una sorta di parametrizzazione: esprimere una coordinata della varietà (specie ha dimensione 1) considerando le altre come parametri e vedere se l'espressione ottenuta fornisce limitazioni per i valori di entrambe [/*:17sg8z66][/list:u:17sg8z66]
Un altra cosa che (ho visto su questo forum) si potrebbe fare è trovare un omeomorfismo fra la varietà in questione e la sfera $S^2$, ma non ho idea di come procedere.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Con le coordinate polari sferiche concludi in fretta. Osserva che ti basta limitare [tex]\rho[/tex].