Proiezione di un vettore su un piano

[franc.u1]

Buonasera a tutti, vi propongo questo esercizio:

Quale dei seguenti vettori è la proiezione ortogonale rispetto al prodotto scalare standard di $RR^3$ del vettore $u= ((3,6,0))$ sul piano $\pi$ di equazione $x-y+z=0$ ?

a) $(4,3,-1)$
b) $(4,5,1)$
c) $(4,4,0)$
d) $(4,6,2)$
e) $(4,7,3)$

La risposta corretta è la b, ma perché ?

Il piano può essere riscritto in forma $(-1,0,1),(1,1,0)$ ora facendo la proiezione ortogonale prima al primo vettore della base di $\pi$ e poi al secondo e sommando il tutto il risultato non torna, mi spiego meglio:

$\pi = <(-1,0,1),(1,1,0)>$

$u_1' = ((3,6,0)*(-1,0,1))/||(-1,0,1)||^2 *(-1,0,1) = 1/sqrt(2) (3,0,-3)$

$u_2' = ((3,6,0)*(1,1,0))/||(1,1,0)||^2 *(1,1,0) = 1/sqrt(2) (9,9,0)$

a questo punto la proiezione di $u$ su $\pi$ dovrebbe essere:

$u_1' +u_2' = 1/sqrt(2) (12,9,-3)$

che ahimè non è nemmeno un multiplo della risposta b...

Cosa sbaglio, forse il metodo è errato oppure dovrei andare a scomodare il fascio di piani ?

[franc.u1]

Buonasera, grazie della risposta, ma non riesco a capire che vettore hai preso come $hat n$ ... è per caso il vettore ortogonale ai due generatori del piano $\pi$ ?

[franc.u1]

Ora è tutto chiarissimo ! Grazie Mille