Matrici ortogonali
Salve a tutti,
Ho la matrice simmetrica di rango 1: $ A=((1,2,-1),(2,4,-2),(-1,-2,1)) $ e devo trovare due matrici ortogonali distinte $P$ e $R$ tali che essendo $D$ una matrice diagonale si abbia $A= PDP^(-1) $ e $A=RDR^(-1)$
$P$ e $R$ devono essere diverse non per il solo cambiamento di segno di alcuni coefficienti.
Allora $dim(Kerf)=2$ poi la traccia è 6 quindi gli autovalori sono 0 con molteplicità 2 e 6 con molteplicità 1 pertanto abbiamo $D=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,6))$
A questo punto come trovo $P$ e $R$?
Ho la matrice simmetrica di rango 1: $ A=((1,2,-1),(2,4,-2),(-1,-2,1)) $ e devo trovare due matrici ortogonali distinte $P$ e $R$ tali che essendo $D$ una matrice diagonale si abbia $A= PDP^(-1) $ e $A=RDR^(-1)$
$P$ e $R$ devono essere diverse non per il solo cambiamento di segno di alcuni coefficienti.
Allora $dim(Kerf)=2$ poi la traccia è 6 quindi gli autovalori sono 0 con molteplicità 2 e 6 con molteplicità 1 pertanto abbiamo $D=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,6))$
A questo punto come trovo $P$ e $R$?
Risposte
Salvo errori di calcolo il polinomio caratteristico è il seguente:
$p_A(t) := (4-\lambda)( (1-\lambda)^2-1)$ già da questo ti dico che la tua matrice $D$ è completamente errata.
(il polinomio caratteristico $p_A(t)$ lo trovi calcolando il determinante della matrice $A$ sottraendo alle entrate sulla diagonale principale $\lambda$ i lambda che annullano il polinomio caratteristico sono gli autovalori di $A$ )
Continuando i calcoli, abbiamo i seguenti autovalori:
$\lambda_1=4$, $\lambda_2=0$, $\lambda_3=2$
Ora occorre trovare gli autovettori:
$E_A(4)=((-3,2,-1,|0),(2,0,-2,|0),(-1,-2,-3,|0) ) $
$E_A(2)=((-1,2,-1, |0),(2,2,-2, |0),(-1,-2,-1, |0)) $
$E_A(0) =((1,2,-1,|0),(2,4,-2, |0),(-1,-2,1, |0)) $
Risolvi questi sistemi omogenei (ottenuti sottraendo alla diagonale gli autovalori), dopodiché ricavati gli autovettori.
$D$ sarà la matrice con entrate tutte nulle eccetto che sulla diagonale dove avremo gli autovalori (quindi puoi già ricavarla), $P$ ed $R$ saranno le matrici aventi come colonne gli autovettori di ciascun autovalore nell'ordine in cui compaiono sulla matrice $D$ (ovviamente $P$ ed $R$ avranno una matrice $D$ associata diversa per quanto riguarda l'ordine di autovalori e autovettori).
$p_A(t) := (4-\lambda)( (1-\lambda)^2-1)$ già da questo ti dico che la tua matrice $D$ è completamente errata.
(il polinomio caratteristico $p_A(t)$ lo trovi calcolando il determinante della matrice $A$ sottraendo alle entrate sulla diagonale principale $\lambda$ i lambda che annullano il polinomio caratteristico sono gli autovalori di $A$ )
Continuando i calcoli, abbiamo i seguenti autovalori:
$\lambda_1=4$, $\lambda_2=0$, $\lambda_3=2$
Ora occorre trovare gli autovettori:
$E_A(4)=((-3,2,-1,|0),(2,0,-2,|0),(-1,-2,-3,|0) ) $
$E_A(2)=((-1,2,-1, |0),(2,2,-2, |0),(-1,-2,-1, |0)) $
$E_A(0) =((1,2,-1,|0),(2,4,-2, |0),(-1,-2,1, |0)) $
Risolvi questi sistemi omogenei (ottenuti sottraendo alla diagonale gli autovalori), dopodiché ricavati gli autovettori.
$D$ sarà la matrice con entrate tutte nulle eccetto che sulla diagonale dove avremo gli autovalori (quindi puoi già ricavarla), $P$ ed $R$ saranno le matrici aventi come colonne gli autovettori di ciascun autovalore nell'ordine in cui compaiono sulla matrice $D$ (ovviamente $P$ ed $R$ avranno una matrice $D$ associata diversa per quanto riguarda l'ordine di autovalori e autovettori).
nel tuo calcolo dev'esserci qualche errore, calcolo polinomio caratteristico: (primo passaggio sommato alla prima colonna la terza e nel secondo Laplace secondo la prima colonna)
$ | ( 1-lambda , 2 , -1 ),( 2 , 4-lambda , -2 ),( -1 , -2 , 1-lambda ) | = |(-lambda,2,-1),(0,4-lambda,-2),(-lambda,-2,1-lambda)| = $ $ -lambda|(4-lambda,-2),(-2,1-lambda)|-lambda|(2,-1),(4-lambda,-2)| = $ $ -lambda[(4-lambda)(1-lambda)-4]-lambda(-4+4-lambda)=6lambda^2-lambda^3 $
Mi pare che il terzo autovalore sia proprio 6
tra l'altro tu avresti trovato 3 autovalori diversi il che a quanto ne so non è possibile visto che la matrice ha un nucleo di dimensione 2 e pertanto 0 dev'essere un autovalore di molteplicità algebrica non inferiore a 2
$ | ( 1-lambda , 2 , -1 ),( 2 , 4-lambda , -2 ),( -1 , -2 , 1-lambda ) | = |(-lambda,2,-1),(0,4-lambda,-2),(-lambda,-2,1-lambda)| = $ $ -lambda|(4-lambda,-2),(-2,1-lambda)|-lambda|(2,-1),(4-lambda,-2)| = $ $ -lambda[(4-lambda)(1-lambda)-4]-lambda(-4+4-lambda)=6lambda^2-lambda^3 $
Mi pare che il terzo autovalore sia proprio 6
tra l'altro tu avresti trovato 3 autovalori diversi il che a quanto ne so non è possibile visto che la matrice ha un nucleo di dimensione 2 e pertanto 0 dev'essere un autovalore di molteplicità algebrica non inferiore a 2
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo