Polinomio minimo
Salve ragazzi, mi sono appena iscritto al forum.
Volevo chiedere se esiste un algoritmo preciso per il calcolo del polinomio minimo di una matrice, ho provato a cercare qualcosa su internet e sui libri di testo ma non ho trovato nulla.
Grazie in anticipo.
Volevo chiedere se esiste un algoritmo preciso per il calcolo del polinomio minimo di una matrice, ho provato a cercare qualcosa su internet e sui libri di testo ma non ho trovato nulla.
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao! Benvenuto nel forum.
Serve usare la teoria di Jordan (cioè la teoria delle forme canoniche). Ti scrivo il risultato in termini esecutivi, per capire perché vale fai finta che la tua matrice sia già scritta in forma di Jordan (tutte le considerazioni qui sotto rimangono valide a meno di coniugio).
Considera i tuoi autovalori distinti $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ della matrice $A$. Allora il polinomio minimo di $A$ ha la forma
$(X-\lambda_1)^{s_1} \cdots (X-\lambda_k)^{s_k}$.
Il problema è chiarire chi sono questi $s_1,\ldots,s_k$. Fissiamo un $\lambda_i = \lambda$ e il suo $s_i = s$. Allora $s$ è uguale al massimo ordine di un blocco di Jordan relativo a $\lambda$.
In termini esecutivi, $s$ risulta essere il minimo $n$ tale che le matrici $(A-\lambda I)^n$ e $(A-\lambda I)^{n+1}$ hanno lo stesso rango (dove $I$ indica la matrice identica).
Per la cronaca l'esponente di $X-\lambda$ nel polinomio caratteristico è invece la somma degli ordini dei blocchi di Jordan relativi a $\lambda$.
Serve usare la teoria di Jordan (cioè la teoria delle forme canoniche). Ti scrivo il risultato in termini esecutivi, per capire perché vale fai finta che la tua matrice sia già scritta in forma di Jordan (tutte le considerazioni qui sotto rimangono valide a meno di coniugio).
Considera i tuoi autovalori distinti $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ della matrice $A$. Allora il polinomio minimo di $A$ ha la forma
$(X-\lambda_1)^{s_1} \cdots (X-\lambda_k)^{s_k}$.
Il problema è chiarire chi sono questi $s_1,\ldots,s_k$. Fissiamo un $\lambda_i = \lambda$ e il suo $s_i = s$. Allora $s$ è uguale al massimo ordine di un blocco di Jordan relativo a $\lambda$.
In termini esecutivi, $s$ risulta essere il minimo $n$ tale che le matrici $(A-\lambda I)^n$ e $(A-\lambda I)^{n+1}$ hanno lo stesso rango (dove $I$ indica la matrice identica).
Per la cronaca l'esponente di $X-\lambda$ nel polinomio caratteristico è invece la somma degli ordini dei blocchi di Jordan relativi a $\lambda$.
Grazie per la risposta, il problema è che io non ho fatto la teoria di Jordan. Fino ad ora ho calcolato il polinomio minimo a partire dal polinomio caratteristico ( che non sempre si riesce facilmente a fattorizzare ) e cercando poi tra le varie combinazioni dei fattori del polinomio caratteristico, quel polinomio di grado minimo che si annulla nella matrice.
Però, come si può ben capire, si tratta di una cosa che occupa moltissimo tempo.
Però, come si può ben capire, si tratta di una cosa che occupa moltissimo tempo.
Hai chiesto se esiste un algoritmo preciso per calcolare il polinomio minimo. Te ne ho proposto uno: detti $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ gli autovalori distinti della matrice $A$, il polinomio minimo di $A$ è uguale a $(X-\lambda_1)^{s_1} \cdots (X-\lambda_k)^{s_k}$ dove per ogni $i$, $s_i$ è il minimo $n$ tale che le matrici $(A-\lambda_i I)^n$ e $(A-\lambda_i I)^{n+1}$ hanno lo stesso rango (dove $I$ indica la matrice identica).
Per capire perché le cose stanno cosi è utile conoscere la teoria di Jordan, ma questo è un altro discorso.
Non conosco altri algoritmi per determinare il polinomio minimo.
Ciao
Per capire perché le cose stanno cosi è utile conoscere la teoria di Jordan, ma questo è un altro discorso.
Non conosco altri algoritmi per determinare il polinomio minimo.
Ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo