Calcolo della composizione di funzione attraverso il prodotto fra matrici

[FrAnZkAfKa]

Salve, vi spiego il mio dubbio con un esempio pratico:
Sia
$ f(e1) = e1+ke2 $
$f(e2)=2e1+e2 $

$ g(e1)=-e1+e2 $
$ g(e2)=3e1 $

determinare z= g o f.
Dunque $ g o f = g(f) = g(e1+ke2;2e1+e2) = (-e1-ke2+2e1+e2;3e1+3ke2) $

$ z= [ ( 1 , 3 ),( 1-k , 3k ) ] $

Se avessi fatto il prodotto fra matrici allora z sarebbe stata f*g
Infatti:

$ f= [ ( 1 , 2 ),( k , 1 ) ] * g= [ ( -1 , 3 ),( 1 , 0 ) ] -> z= [ ( -1+2 , 3+0 ),( -k+1 , 3k ) ] $

Ma prendendo quest' altro caso in cui
$p(x1,x2)=(x1,x2,x1)$
$s(x1,x2,x3)=(tx1+x2+tx3;x1+x2+x3)$

$w=p o s$
Allora primo metodo
$p(s)=p(tx1+x2+tx3;x1+x2+x3)=(tx1+x2+tx3;x1+x2+x3;tx1+x2+tx3)$

$-> s= $ $ [ ( t , 1 , t ),( 1 , 1 , 1 ),( t , 1 , t ) ] $
E si vede che s è il prodotto p*s e non s*p!
Infatti
$p= [ ( 1, 0), (0, 1), (1, 0) ] * s= [ ( t,1,t),(1,1,1)] = [ ( t , 1 , t ),( 1 , 1 , 1 ),( t , 1 , t ) ]$

Mentre $s*p = $ $ [ ( 2t , 1 ),( 2 , 1 ) ] $

Nel primo caso per determinare gof ho fatto il prodotto f*g mentre nel secondo per determinare pos ho fatto il prodottop*s

Ma allora, la regola generale per calcolare g o f è fare il prodotto di g per f o il viceversa?

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Non ho controllato i conti svolti, mi limito a trattare la questione da un punto di vista generale.

Siano $V,W,X,Y$ spazi vettoriali su un campo $K$ e siano $F,G$ applicazioni lineari così definite:

$F:V rightarrow W$

$G:X rightarrow Y$

Supponendo che $ImF sube X$, naturalmente si arriva a definire

$GoF:V rightarrow Y$ con $(GoF)(v)=G(F(v)), v in V$

anch'essa lineare (facile da dimostrare).

Siano $A_F$ e $A_G$ le matrici associate, rispettivamente, a $F$ e $G$; naturalmente, dati $vinV$ e $x in X$, si ha:

$F(v)=A_F*v in W$

$G(x)=A_G*x in Y$

Allora si ha:

$(GoF)(v)=G(F(v))=G(A_F*v)=A_G*(A_F*v)=(A_G*A_F)*v$

Quindi, la matrice $A_{GoF}$ da associare alla composizione delle due applicazioni lineari è data da

$A_{GoF}=A_G*A_F$

Saluti.

[FrAnZkAfKa]

"alessandro8":Ciao.

Non ho controllato i conti svolti, mi limito a trattare la questione da un punto di vista generale.

Siano $V,W,X,Y$ spazi vettoriali su un campo $K$ e siano $F,G$ applicazioni lineari così definite:

$F:V rightarrow W$

$G:X rightarrow Y$

Supponendo che $ImF sube X$, naturalmente si arriva a definire

$GoF:V rightarrow Y$ con $(GoF)(v)=G(F(v)), v in V$

anch'essa lineare (facile da dimostrare).

Siano $A_F$ e $A_G$ le matrici associate, rispettivamente, a $F$ e $G$; naturalmente, dati $vinV$ e $x in X$, si ha:

$F(v)=A_F*v in W$

$G(x)=A_G*x in Y$

Allora si ha:

$(GoF)(v)=G(F(v))=G(A_F*v)=A_G*(A_F*v)=(A_G*A_F)*v$

Quindi, la matrice $A_{GoF}$ da associare alla composizione delle due applicazioni lineari è data da

$A_{GoF}=A_G*A_F$

Saluti.

Grazie per la risposta.
Ma io qui algebra-lineare-composizione-funzioni-e-matrice-associata-t37669.html leggo proprio il contrario! ho le idee confuse

[Sk_Anonymous]

"FrAnZkAfKa":
Grazie per la risposta.
Ma io qui algebra-lineare-composizione-funzioni-e-matrice-associata-t37669.html leggo proprio il contrario! ho le idee confuse

Non ho la pretesa di essere infallibile, ma io ho presentato una dimostrazione della proprietà in questione, fatto che non si è verificato nell'altro topic che mi hai segnalato.

Comunque fai una prova con qualche esempio; le cose dovrebbero andare esattamente come affermavo io; e se questo non bastasse ancora, si tenga presente anche questo link wiki.

Saluti.