Traccia

[squalllionheart]

Salve ragazzi, ho un problema, devo calcolare la varianza dei residui nel OLS non capisco un passaggio "geometrico":

$E[e'e]=E[ u'M' Mu ]=E[u'Mu] $

$M$ è una matrice idempotente, trovo scritto che il valore atteso è uno scalare (su questo sono d'accordo), dopo di che viene detto che uno scalare coincide sempre con la sua traccia (???), dove la traccia di una matrice è la somma degli elementi sulla diagonale. Per la proprietà ciclica della traccia (mai sentito parlare di proprietà ciclica…), ossia possiamo far ruotare l'ordine delle matrici all'interno della traccia senza cambiarne il risultato, possiamo scrivere:

$E[trM u u]=\sigma^2(trI_T-tr(X'X)^{-1}X'X)=\sigma^2(I_T-I_k)$

Grazie in anticipo.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Mh, chiarire i simboli che usi no eh?

Sul fatto che uno scalare coincide con la sua traccia, l'unica interpretazione che vedo è che la traccia della matrice scalare 1x1 $(a)$ è uguale ad $a$.

Quanto alla proprietà ciclica della traccia, l'unica interpretazione che vedo è che per esempio la traccia di $X_1 \cdots X_n$ è uguale alla traccia di $X_2 \cdots X_n X_1$ perlomeno quando $X_1$ è invertibile in quanto la traccia è invariante per coniugio e $X_2 \cdots X_n X_1 = X_1^{-1} (X_1 X_2 \cdots X_n) X_1$.