Vettore di modulo minimo in una varietà lineare
Ciao ragazzi 
dovrei dimostrare questa cosa:
"Siano V uno spazio vettoriale euclideo, v ∈ V e W un sottospazio di V di dim(W) = n < ∞. Dimostrare che in v +W esiste un vettore di modulo minimo."
Potreste darmi una mano ? non riesco a capire cosa significhi
dovrei dimostrare questa cosa:
"Siano V uno spazio vettoriale euclideo, v ∈ V e W un sottospazio di V di dim(W) = n < ∞. Dimostrare che in v +W esiste un vettore di modulo minimo."
Potreste darmi una mano ? non riesco a capire cosa significhi
Risposte
Ciao,
In modo informale per capire cosa ti stia venendo chiesto puoi visualizzare il problema immaginando di essere sul piano, W puoi vederlo come una retta passante per l'origine, e la sottovarietà v+W la stessa retta traslata di v. Che in v+W esista un vettore di modulo minimo vuol dire che c'è un vettore fra quelli che "dall'origine arrivano" in v+W che ha lunghezza inferiore a tutti gli altri. Chiaramente nell'esempio che ti ho fatto il vettore in questione è l'unico vettore ortogonale alla retta W che "arriva" in v+W.
Per dimostrarlo nel caso generale puoi immaginare che il vettore di modulo minimo in $v+W$ continui a essere quello ortogonale a $W$. Poiché $V=W^⊥ \oplus W$, qualunque vettore in $v+W$ può essere scritto come $u = n + w$ con $n \in W^⊥$ e $w \in W$. Allora $\|\|u\|\|^2 = ...$ prova a completare.
Nota: Nella prima parte della risposta, quella relativa al piano, ho ho usato delle virgolette perché tu hai posto il problema in termini di soli spazi vettoriali, la varietà dunque è un sottoinsieme di V i cui elementi sono vettori, non è un sottoinsieme di uno spazio affine i cui elementi sono dei punti. Non è quindi corretto dire che i vettori vanno "dall'origine (che non esiste in uno spazio vettoriale) a v+W", semplicemente quei vettori appartengono a v+W. Volevo solo rendere il tutto più intuitivo possibile.
In modo informale per capire cosa ti stia venendo chiesto puoi visualizzare il problema immaginando di essere sul piano, W puoi vederlo come una retta passante per l'origine, e la sottovarietà v+W la stessa retta traslata di v. Che in v+W esista un vettore di modulo minimo vuol dire che c'è un vettore fra quelli che "dall'origine arrivano" in v+W che ha lunghezza inferiore a tutti gli altri. Chiaramente nell'esempio che ti ho fatto il vettore in questione è l'unico vettore ortogonale alla retta W che "arriva" in v+W.
Per dimostrarlo nel caso generale puoi immaginare che il vettore di modulo minimo in $v+W$ continui a essere quello ortogonale a $W$. Poiché $V=W^⊥ \oplus W$, qualunque vettore in $v+W$ può essere scritto come $u = n + w$ con $n \in W^⊥$ e $w \in W$. Allora $\|\|u\|\|^2 = ...$ prova a completare.
Nota: Nella prima parte della risposta, quella relativa al piano, ho ho usato delle virgolette perché tu hai posto il problema in termini di soli spazi vettoriali, la varietà dunque è un sottoinsieme di V i cui elementi sono vettori, non è un sottoinsieme di uno spazio affine i cui elementi sono dei punti. Non è quindi corretto dire che i vettori vanno "dall'origine (che non esiste in uno spazio vettoriale) a v+W", semplicemente quei vettori appartengono a v+W. Volevo solo rendere il tutto più intuitivo possibile.
Grazie per la risposta in effetti mi mancava proprio il concetto che tu mi hai esposto, cioè
'Vettore di modulo minimo = minimo vettore che parte "dall'origine" ed arriva ortogonale alla varietà' .
Quindi la posso vedere come la misura della distanza tra il sottospazio $W$ e la varietà $v+W$ ?
Assumendo corretto quello che ho proposto sopra, a questo punto il vettore di modulo minimo non sarebbe altro che la proiezione ortogonale del vettore $v$ (quello che trasla la varietà) sullo spazio $W^(_|_) $.
Il problema nella dimostrazione è che non riesco a capire cosa significa dimostrare l'esistenza, cioè: supponendo corretta l'idea che mi sono fatto, a me sembra una cosa ovvia che esista questa proiezione ortogonale dunque mi trovo in difficoltà al dover dimostrare questa cosa, non so dove devo andare a parare
in effetti mi mancava proprio il concetto che tu mi hai esposto, cioè 'Vettore di modulo minimo = minimo vettore che parte "dall'origine" ed arriva ortogonale alla varietà' .
Quindi la posso vedere come la misura della distanza tra il sottospazio $W$ e la varietà $v+W$ ?
Assumendo corretto quello che ho proposto sopra, a questo punto il vettore di modulo minimo non sarebbe altro che la proiezione ortogonale del vettore $v$ (quello che trasla la varietà) sullo spazio $W^(_|_) $.
Il problema nella dimostrazione è che non riesco a capire cosa significa dimostrare l'esistenza, cioè: supponendo corretta l'idea che mi sono fatto, a me sembra una cosa ovvia che esista questa proiezione ortogonale
dunque mi trovo in difficoltà al dover dimostrare questa cosa, non so dove devo andare a parare
Sì, coincide la distanza fra $W$ e $v+W$, e vale anche il discorso della proiezione. Il punto chiave era osservare che qualsiasi vettore di $V$ può essere espresso come somma di un vettore di $W$ e uno del suo ortogonale. Per quanto riguarda la dimostrazione, può sembrare ovvio se ti fai l'immagine del piano e della retta, però in generale va dimostrato che quella proiezione ortogonale è pari al vettore di minimo modulo di $v+W$.
Quello che io volevo dirti è: pensa al caso che riesci a visualizzare, al piano, evidentemente vale il discorso della proiezione. Non volevo dirti: la proiezione ortogonale è per definizione il più piccolo modulo di un vettore di $v+W$, non è così! Forse la cosa ha creato confusione, ma quello che deve essere chiaro è che l'idea intuitiva va dimostrata. Per mostrare che quel vettore ortogonale ha modulo minimo fra quelli di $v+W$ basta portare avanti la formula che avevo lasciato in sospeso: \[\|u\|^2=\|n\|^2+\|w\|^2+2 n \cdot w \geq \|n\|^2\]
In ogni caso attendiamo qualcuno di più autorevole di me per una conferma, io non sono certo un esperto (mi sono registrato ieri per fare una domanda e ho provato a collaborare un po'). A me sembra che il ragionamento abbia senso.
Quello che io volevo dirti è: pensa al caso che riesci a visualizzare, al piano, evidentemente vale il discorso della proiezione. Non volevo dirti: la proiezione ortogonale è per definizione il più piccolo modulo di un vettore di $v+W$, non è così! Forse la cosa ha creato confusione, ma quello che deve essere chiaro è che l'idea intuitiva va dimostrata. Per mostrare che quel vettore ortogonale ha modulo minimo fra quelli di $v+W$ basta portare avanti la formula che avevo lasciato in sospeso: \[\|u\|^2=\|n\|^2+\|w\|^2+2 n \cdot w \geq \|n\|^2\]
In ogni caso attendiamo qualcuno di più autorevole di me per una conferma, io non sono certo un esperto (mi sono registrato ieri per fare una domanda e ho provato a collaborare un po'). A me sembra che il ragionamento abbia senso.
Si avevo pensato di usare il teorema di Pitagora ed adesso che mi hai spiegato un pò più approfonditamente, ho capito grazie mille.
Penso che sia corretto come ragionamento
ed adesso che mi hai spiegato un pò più approfonditamente, ho capito grazie mille.Penso che sia corretto come ragionamento
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo