Endomorfismo

[asder83]

Esiste un endomorfismo $f$ di $R^3$ tale che $f(1,0,0)=(2,0,1)$ e $f(-1,0,0)=(2,1,-1)$ ?
Se si, scrivere un esempio.
Se no, dire perchè

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Somma membro a membro le due relazioni e utilizza la linearità dell'applicazione $f$ rispetto alla somma tra vettori; la risposta è pressochè immediata.

Saluti.

[asder83]

$ (1,0,0)+(2,0,1)=(3,0,1) $
$ (-1,0,0)+(2,1,-1) =(1,1,-1)$
?

[Sk_Anonymous]

"chry11":$ (1,0,0)+(2,0,1)=(3,0,1) $
$ (-1,0,0)+(2,1,-1) =(1,1,-1) $
?

Attenzione, le relazioni erano date da

$ f(1,0,0)=(2,0,1) $
$ f(-1,0,0)=(2,1,-1) $

Somma membro a membro queste due relazioni.

Saluti.

[asder83]

Non ho capito come fare

[Sk_Anonymous]

"chry11":Non ho capito come fare

Date due relazioni

$A=B$

$C=D$

"sommando membro a membro" tali relazioni, si ottiene (per esempio):

$A+C=B+D$

Saluti.

[asder83]

$f(1,0,0)+(−1,0,0)=(2,0,1)+(2,1,−1)=(4,1,0)$

[Sk_Anonymous]

"chry11":$f(1,0,0)+(−1,0,0)=(2,0,1)+(2,1,−1)=(4,1,0)$

No, attenzione; sommando membro a membro si ha:

$f(1,0,0)+f(−1,0,0)=(2,0,1)+(2,1,−1)$.

Ora, sfruttando la linearità di $f$, si ottiene che....

Saluti.

[asder83]

non lo so

[Sk_Anonymous]

"chry11":non lo so

Non conosci la proprietà di linearità rispetto alla somma tra vettori?

Saluti.

[asder83]

$(2+2,0+1,1+(-1))$

[Sk_Anonymous]

La definizione di applicazione lineare $L:V rightarrow W$, con $V,W$ spazi vettoriali su un campo $K$, prevede che valgano queste due proprietà:

1) $AA v_1,v_2 in V$ si ha $L(v_1+v_2)=L(v_1)+L(v_2)$

2) $AA k in K,AA v in V$ si ha $L(kv)=kL(v)$

Prova ad applicare la proprietà (1) alla somma $f(1,0,0)+f(−1,0,0)$.

Saluti.

[asder83]

$f(1,0,0)+f(−1,0,0)=(2,0,1)+(2,1,−1)$

[Sk_Anonymous]

"chry11":$ f(1,0,0)+f(−1,0,0)=(2,0,1)+(2,1,−1) $

Questo era già stato scritto.

Ora, mentre al membro destro si avrebbe

$(2,0,1)+(2,1,−1)=(4,1,0)$

che cosa si otterrebbe, effettuando la somma dei termini al membro sinistro, cioè effettuando il calcolo $f(1,0,0)+f(−1,0,0)$?

Saluti.

[asder83]

$(0,0,0)=(4,1,0)$

[Sk_Anonymous]

"chry11":$ (0,0,0)=(4,1,0) $

Correzione: $f(0,0,0)=(4,1,0)$

Problema successivo: un'applicazione di quel tipo può essere un'applicazione lineare?
Pensa alle proprietà del nucleo di un'applicazione lineare.

Saluti.

[asder83]

$f(0,0,0)=(0,0,0)$?

[Sk_Anonymous]

"chry11":$ f(0,0,0)=(0,0,0) $?

Certamente, se $f$ fosse lineare.

Conclusione, riguardo all'applicazione lineare $f$ data?

Saluti.

[asder83]

Non esiste un endomorfismo $f$ di $R^3$ tale che $f(1,0,0)=(2,0,1) e f(−1,0,0)=(2,1,−1) $
poichè $f(0,0,0)!=(0,0,0)$
in quanto $f(0,0,0)!=(4,1,0)$

[Sk_Anonymous]

"chry11":Non esiste un endomorfismo $f$ di $R^3$ tale che $f(1,0,0)=(2,0,1) e f(−1,0,0)=(2,1,−1) $
poichè $f(0,0,0)!=(0,0,0)$
in quanto $f(0,0,0)!=(4,1,0)$

Attenzione, nell'applicazione data valeva $f(0,0,0)=(4,1,0)$; comunque, a parte questo, la conclusione è esatta.

Saluti.

[asder83]

errore di battitura

Non esiste un endomorfismo $f$ di $R^3$ tale che $f(1,0,0)=(2,0,1) e f(−1,0,0)=(2,1,−1) $
poichè $f(0,0,0)!=(0,0,0)$
in quanto $f(0,0,0)=(4,1,0)$