Raggio di una circonferenza che si espande a ritmo costante
Salve a tutti, ho una circonferenza di raggio iniziale $ r0 $, che si espande a ritmo costante secondo la legge $ (dr)/(dt) = 10 $ $ (cm)/s $. Come descrivereste l'andamento del raggio, e la lunghezza di C nel tempo?
Io credo che dopo un'istante di tempo $ t $, il raggio della circonferenza aumenti di un fattore $ r' = t*((dr)/dt) $, però nonostante dimensionalmente sia corretta, non sono del tutto convinto di ciò...
Voi che dite?
Io credo che dopo un'istante di tempo $ t $, il raggio della circonferenza aumenti di un fattore $ r' = t*((dr)/dt) $, però nonostante dimensionalmente sia corretta, non sono del tutto convinto di ciò...
Voi che dite?
Risposte
Chiamiamo $b = 10 \frac {cm} {s}$ il valore costante della derivata del raggio.
Otteniamo $\frac {dr} {dt} = b$ e quindi $dr = b dt$.
A questo punto integriamo $int_{r_0}^r dr = int_{0}^t b dt$
ottenendo $ r - r_0 = bt $ e quindi $r = r_0 + bt$, che è l'espressione cercata.
Per esprimere il perimetro della circonferenza in funzione del tempo basta ricordare che il perimetro è $p = 2 pi r$ e sostituire in questa relazione l'espressione di $r$ appena trovata
Otteniamo $\frac {dr} {dt} = b$ e quindi $dr = b dt$.
A questo punto integriamo $int_{r_0}^r dr = int_{0}^t b dt$
ottenendo $ r - r_0 = bt $ e quindi $r = r_0 + bt$, che è l'espressione cercata.
Per esprimere il perimetro della circonferenza in funzione del tempo basta ricordare che il perimetro è $p = 2 pi r$ e sostituire in questa relazione l'espressione di $r$ appena trovata
Grz mille, non ci avevo effettivamente pensato!
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