Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
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Data la matrice \(\displaystyle A= \)$ [ ( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1-a^2 , 0 , 1 ),( 1-a^2 , 0 , 1 , 0 ) ]$ determinare per quali valori di a sia diagonalizzabile.
Costruendo il polinomio caratteristico si nota che non dipende da a, quindi come posso dire se è o meno diagonalizzabile tale matrice?
Grazie
Buona sera, dunque sto facendo un'esercizio sul mio libro universitario.
L'esercizio dice: Determinare al variare del parametro α ∈ R le soluzioni del seguente sistema:
$ { ( x+ αy+2z=0),( αx-y=1 ),( αy-2z=0 ):} $
Ora io mi sono creato dal sistema la matrice seguente $ A=( ( 1 , α , 2 ),( α , -1 , 0 ),( 0 , 0 , -2 ) ) $ da qui mi sono calcolato il determinante di A che mi viene $ 2+2α^2 $ . Poi ho calcolato x, y e z che mi sono venuti x=0, \( y=\frac{-1}{1+α^2} \) e \( ...
Sono dati i seguenti vettori in $ RR^3 $:
\( u_1=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, u_2= \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, u_3=\begin{pmatrix} -2 \\ 9 \\ 14 \end{pmatrix}, u_4= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \)
mi chiede di capire se la famiglia formata dai quattro vettori è libera e se è un generatore dello spazio vettoriale.
a me istintivamente verrebbe da dire che non può essere perchè in quel caso formerebbe una base ma la dimensione dello spazio è ...
Sia f : R3 → R4 l’applicazione lineare tale che f((x, y, z)) = (x − y, x + 2z, 2x − y + 2z, −x + y).
(i) Determinare una base di Ker f e una base di Im f.
(ii) Dire se f `e iniettiva o suriettiva.
(iii) Il vettore (1, 0, −1, 1) appartiene a Im f? Perchè?
(i) B(ker f) = {(-2,-2,1)}
B(Im f) = {(1,1,2,-1),(-1,0,-1,1)}
(ii) f non è né iniettiva né suriettiva
quindi (iii) (1,0,-1,1) non appartiene all'Im f ma...perchè?
Va bene dire che il vettone non appartiene ...
Salve a tutti, qualcuno può aiutarmi col secondo punto di questo esercizio?:
Data la matrice reale A =
1 1 0
1 1 0
1 −1 2
(i) calcolare gli autovalori e gli autospazi di A;
(ii) stabilire se A `e diagonalizzabile e, in caso di risposta affermativa, esibire una base di R3 costituita da autovettori di A.
Gli autovettori sono (-1, 1, 1) per l'autovalore 0 e {(1,1,0), (0, 0, 1)} per l'autovalore 2 (molteplicità due).
La matrice è diagonalizzabile perchè p una matrice 3x3 ...
Salve,non so la soluzione di questo quesito e vorrei sapere se il mio approccio è corretto.
Sia $ alpha $ la retta passante per il punto $ P (1,-1,1) $ ,contenuta nel piano $ S : 2x - 3y - 2z - 3 = 0 $ e incidente la retta $ beta : x = 2 - t , y = 1 , z= 3 + 3t $
a) Determinare un'equazione cartesiana del piano $ S' $ passante per $ Q (2,1,0) $ e parallelo sia ad $ alpha $ che $ beta $ .
b) Il piano $ S' $ contiene $ alpha $ ? Contiene ...
Salve
sto cercando di ridurre la seguente matrice
$( (1-h , h , -1) , ( -h , h+1,-1),(-h,h,0)) $ R2-R1 $ ( (1-h , h , -1) , ( -1 , 1,0),(-h,h,0)) $
da qui sono bloccato e non so come arrivare ad
$ ( (1-h , h , -1) , ( -1 , 1,0),(0,0,0)) $
come potrei annullare quelle h ?
grazie per gli eventuali chiarimenti
Prima di tutto buona domenica
Sono incappato in questo problema, mi viene data una matrice dicendomi che è associata ad un'applicazione lineare della quale devo studiare l'iniettività, suriettività e nucleo.
Il mio problema sorge però in partenza, ho per esempio questa matrice:
$((1,0,0,-1),(0,3,4,2),(-3,-2,6,1))$
come faccio a stabilire quest'applicazione com'è fatta? Prima di tutto è da $RR^4 \to RR^3$ oppure $RR^3 \to RR^4$, come lo stabilisco? Vorrei capire solo questo perché poi lo studio delle ...
Salve a tutti
Scusate il banale dubbio che sottopongo.
Ho degli esercizi svolti sulla riduzione di matrici , ma spesso il mio risultato non coincide perfettamente con quello del testo/appunti .
Nei miei riferimenti teorici non ho trovato granchè ; ma è possibile arrivare allo stesso risultato (uguale calcolo del rango) con "numeri " diversi ??
Vi faccio un esempio
$A = ( (1,1,1,2) ,(1,1,-1,0),(0,0,2,1),(0,0,1,2) ) $
Sommo ad R2 , R1* $- (a21)/(a11)$ ed ottengo
$( (1,1,1,2) ,(0,0,0,0),(0,0,2,1),(0,0,1,2) )$ scambio la seconda riga con l'ultima ...
Sia \(\displaystyle V=M_2(R), W=R^2, \forall c\in W \Rightarrow f_c:V \rightarrow W \) applicazione lineare definita da \(\displaystyle f_c(A)=Ac \) prodotto righe per colonne.
1. Al varaire di c in W calcolare il rango di \(\displaystyle f_c \) e una base di \(\displaystyle ker(f_c) \)
2. Dimostare che se c e h sono linearmente independenti allora \(\displaystyle V=ker(f_c) + (f_h) \) (somma diretta)
3. Dimostare che \(\displaystyle ker(f_c)={A\in V: det(A)=0} \)
Potreste darmi una mano con ...
Ciao a tutti,
ho un problema ad applicare la teoria di geometria differenziale che sto facendo da autodidatta con, ad esempio, quello che ci viene detto in meccanica analitica. Innanzitutto, ho che l'energia cinetica, nel caso di vincoli non dipendenti dal tempo, è una forma quadratica definito sul fibrato tangente ad una varietà. Fin qui ok. E' una forma quadratica che sfrutta la metrica Riemanniana naturalmente definita sulla varietà. Mi è stato detto dal professore che questa metrica ...
Sono ancora alle prese con algebra lineare e sto cercando di rifinire alcuni dubbi. Ho trovato il seguente quesito su cui ho alcune difficoltà:
Sia $V$ uno spazio vettoriale finitamente generato, provare che $dimV=dimV^\star$ ed esibire un isomorfismo tra $V$ e $V^\star$
Velocemente $B={v_1,...,v_n}$ base di V, è facile vedere che $B^\star={v_1^\star,...,v_n^\star}$ è base di $V^\star$, per esibire un isomorfismo si può fare in tanti modi per esempio (il più ...
volevo chiedere se è corretto procedere in questo modo,
devo calcolare questo integrale moltiplicato la norma di un vettore.
$\( \int_K f( u$, v$, u^2 - v^2$) || N (u,v)|| du dv
mi sono calcolato il vettore normale N
N = $((i,j,k),(1,0,2u),(0,1,-2v))$ = ( -2u,2v,1)
la norma la ottengo in questo modo N = $sqrt(\sum_{n=0}^\infty\(x^2$ )
quindi (2u,2v,1) = $sqrt(4u^2 +4v^2 +1)$
$\ \int_K f( u$, v$, u^2 - v^2$) $sqrt(4u^2 +4v^2 +1)$
$\ \int_K f( u$ $sqrt(4u^2 +4v^2 +1)$ + v $sqrt(4u^2 +4v^2 +1)$ + ...
Devo preparare l'esame di topologia e vorrei qualche dritta su questo esercizio che ho risolto:
"Si dimostri che $\mathbb{R}$ , munito della topologia discreta, non è né connesso né compatto"
La mia risoluzione è:
Tutti i sottoinsiemi di $\mathbb{R}$ dotato della topologia discreta sono contemporaneamente chiusi e aperti quindi per dimostrare che non è connesso mi basta esibire 2 insiemi che formano una sconnessione di $\mathbb{R}$, per esempio posso prendere un qualsiasi ...
Ciao a tutti, avrei qualche domanda su campo tangente e derivata covariante. Prima dirò quello che ho capito (o meglio, che penso di aver capito) e poi pian piano dirò le mie perplessità. Dunque, un campo di vettori tangente è data $S$ una superficie $p\in S$, una funzione $X:S\rightarrow T_pS$: in pratica, ad ogni punto della superficie "attacco" un vettore, in modo tale che appertenga al tangente. Ora, introduco la derivata convariante che è una funzione dal tangente in sé ...
Salve! Ho bisogno di una mano con questo esercizio:
Dati $W = span( | ( 1 ),( 0 ),( 1 ) | , | ( 0 ),( 1 ),( 0 ) |) $ e $U = span( | ( 1 ),( -1 ),( 0 ) |, | ( 0 ),( 1 ),( -1 ) |) $
si deve calcolare la dimensione ed una base di $UnnW$
Ora, dalla matrice data dai 4 vettori incolonnati e da una sua riduzione a scala, ottengo:
$ U+W = | ( 1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , -1 , -1 ) | $ e da qui il procedimento illustrato dalla prof non mi è molto chiaro;
ciò consiste nel porre $ { ( y_(2) = b ),( y_(1)+y_(2) = 0rarry_(1) = -b ):} $
per poi fare: $y_(1) | ( 1 ),( -1 ),( 0 ) | + y_(2) | ( 0 ),( 1 ),( -1 ) | = b| (-1), (2), (-1)|$
che è la base dell'intersezione.
Io non capisco perchè è stata usata ...
Ciao, risolvendo un esercizio di algebra lineare mi sono imbattuto in un esercizio sulle coniche e non riesco a spiegarmi alcune cose. Scrivo un esercizio già risolto dal mio professore.
Trovare l’equazione canonica della conica [tex]3x^2 + 6xy + 3y^2 + 4x + 6y + 3 = 0[/tex] poi classificarla.
Inizia trovando gli autovalori e autovettori
[tex]A=\begin{bmatrix}
3 & 3\\ 3
&3
\end{bmatrix}[/tex]
[tex]P_A(\lambda )=det(A-\lambda I)=(\lambda -6)\lambda[/tex]
Per [tex]\lambda_1=6[/tex] avremo ...
Salve,io ho problemi nel capire la risoluzione di esercizi in cui si devono definire due applicazioni legate da alcune relazioni (come negli esempi sotto) e rispondere ad eventuali domande su Ker. o Im. di entrambi.
Esercizio 1 :
a) Stabilire se un applicazione F :$ RR^4 -> RR^3 $ t.c.
F ((1,0,1,0))= (1,2,1) , F ((3,-1,2,1))= (2,-1,1) , F ((1,-1,1,0))= (1,0,0) , F ((2,0,1,1))= (0,1,1)
L'applicazione è lineare?
b) Definire un app. lineare G :$ RR^4 -> RR3(x) $ t.c.
G ((2,0,2,0)) = G ...
Salve! L' esercizio consiste nel determinare la posizione reciproca del piano $alpha:-2ax+ay+z=2$ per $ainR$
e della retta $r: { ( x-2y=-3 ),( x+y-z=2 ):} $
Comincio impostando la matrice: $A = | ( -2a , a , 1 , 2),( 1 , -2 , 0 , -3 ),( 1 , 1 , -1 , 2 ) | $
Il mio problema sta nella riduzione a scala: come faccio a determinare in che modo procedere? Devo spostare la prima riga perchè ha termini con parametro? Devo lasciare così com'è e cominciare subito con la riduzione?
Perchè, in tal caso, ottengo:
$A' = | ( -2a , a , 1 , 2),( 0 , -3a , 1 , -6a+2 ),( 0 , 0 , -a+1 , 2-a ) | $
che non mi sembra ...
Come da titolo mi trovo a dover determinare un sistema di generatori dell'immagine di un'applicazione lineare.
Supponiamo che abbia questa applicazione:
$f: a_0 + a_1 x + a_2 x^2 in RR_{[x]<=2} \to (a_0 - 2 a_1, 2a_2 + a_0, a_1 + a_2) in RR^3$
Una volta che verifico che è un'applicazione lineare facendo vedere che $f(u + v) = f(u) + f(v)$ e che $\lambda f(u) = f(\lambda u)$ ho detto, referendomi ad un teorema, che un sistema di generatori delle immagini può essere ${1, x, x^2}$ , base del dominio. è corretto quello che ho fatto? Ci sarebbero altri metodi magari migliori?
Grazie ...
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