Basi di Spazio vettoriale di Polinomi
Salve, non riesco a capire come procedere in questo esercizio dove mi chiede di verificare che i polinomi 1,x,x^2 generano lo spazio vettoriale R2(x), se sono linearmente indipendenti ed infine di calcolare la dimensione di R2(x).
il mio problema è sostatema di sostanzialmente come dimostrare che ax^2 + bx + c è in effetti un sistema di generatori giusto?
Grazie in anticipo
il mio problema è sostatema di sostanzialmente come dimostrare che ax^2 + bx + c è in effetti un sistema di generatori giusto?
Grazie in anticipo
Risposte
Devi sfruttare l'isomorfismo $phi: R_n[X]rightarrow R^{n+1}$.
Nel tuo caso: $R_2[X]rightarrow R^{3}$.
Al generico polinomio di grado al più 2 associa le sue componenti in coordinate
$P(X)=aX^2 + bX + c rightarrow ((a),(b),(c))$
Infatti:
$[x^2]_phi=((1),(0),(0))$
$[x]_phi=((0),(1),(0))$
$[1]_phi= ((0),(0),(1))$
E' evidente che l'insieme ${1,X,X^2}$ è una base per $R_2[X]$. (Non solo, essa è la base canonica)
Per verificare che siano un sistema di generatori, il rango della matrice che ha per colonne i candidati generatori deve essere massimo (e lo è).
Chiaramente sono anche linearmente indipendenti, pertanto tale insieme ${1,X,X^2}$ è una base per $R_2[X]$.
Nel tuo caso: $R_2[X]rightarrow R^{3}$.
Al generico polinomio di grado al più 2 associa le sue componenti in coordinate
$P(X)=aX^2 + bX + c rightarrow ((a),(b),(c))$
Infatti:
$[x^2]_phi=((1),(0),(0))$
$[x]_phi=((0),(1),(0))$
$[1]_phi= ((0),(0),(1))$
E' evidente che l'insieme ${1,X,X^2}$ è una base per $R_2[X]$. (Non solo, essa è la base canonica)
Per verificare che siano un sistema di generatori, il rango della matrice che ha per colonne i candidati generatori deve essere massimo (e lo è).
Chiaramente sono anche linearmente indipendenti, pertanto tale insieme ${1,X,X^2}$ è una base per $R_2[X]$.
Ok tutto molto chiaro, grazie mille 
Figurati, e benvenuto nel forum 
ad ogni modo, ci sono moltissimi esercizi già risolti di questo tipo nel forum, basta cercare
ad ogni modo, ci sono moltissimi esercizi già risolti di questo tipo nel forum, basta cercare
Ah ecco ok allora cercherò meglio, grazie ancora
Scusami ho un dubbio che mi è venuto facendo un esercizio simile, quando il rango della matrice che ha per colonne i candidati generatori non è massimo e quindi quello non è un sistema di generatori, poi come procedo? elimino casualmente colonne fino ad arrivare al rango massimo?
se il rango non è massimo, non sono un sistema di generatori. Potresti fare il completamento della base, ma quello deve chiedertelo l'esercizio... insomma, dipende dalla richiesta.
Se l'esercizio ti chiede solo se sono un sistema di generatori basta mostrare che il rango non è massimo per concludere che non lo sono.
Se l'esercizio ti chiede solo se sono un sistema di generatori basta mostrare che il rango non è massimo per concludere che non lo sono.
Ok, quindi semplicemente metto che quello non è un sistema di generatori e basta. Ok grazie
di nulla
ciao, scusate se mi intrometto. senza ricorrere all'isomorfismo potrei dimostrare che sono dei generatori nel modo seguente?
Prendo un generico pol di grado al massimo 2: $ a_2x^2+a_1x+a_o $ . questo posso scriverlo come combinazione lineare degli elementi della famiglia in questo modo: $ (a_2)x^2+(a_1)x+(a_o)1 $
così non ho dimostrato che ${1,x,x^2}$ generano tutto lo spazio assegnato?
Prendo un generico pol di grado al massimo 2: $ a_2x^2+a_1x+a_o $ . questo posso scriverlo come combinazione lineare degli elementi della famiglia in questo modo: $ (a_2)x^2+(a_1)x+(a_o)1 $
così non ho dimostrato che ${1,x,x^2}$ generano tutto lo spazio assegnato?
Era una cosa che si poteva vedere "a occhio". Ad ogni modo, è prassi sfruttare tale isomorfismo; ) soprattutto quando tali spazi di polinomi sono definiti in modo diverso
ok perfetto grazie
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