Spazi di matrici

[daddoloso]

Sia \(\displaystyle V=M_2(R), W=R^2, \forall c\in W \Rightarrow f_c:V \rightarrow W \) applicazione lineare definita da \(\displaystyle f_c(A)=Ac \) prodotto righe per colonne.
1. Al varaire di c in W calcolare il rango di \(\displaystyle f_c \) e una base di \(\displaystyle ker(f_c) \)
2. Dimostare che se c e h sono linearmente independenti allora \(\displaystyle V=ker(f_c) + (f_h) \) (somma diretta)
3. Dimostare che \(\displaystyle ker(f_c)={A\in V: det(A)=0} \)

Potreste darmi una mano con questo esercizio, che non riesco a capire da dove iniziare. Grazie

[anonymous_0b37e9]

Le immagini $in RR^2$ delle matrici $in M_2(RR)$ che costituiscono la base naturale sono:

$((1,0),(0,0)) rarr ((1,0),(0,0))((c_1),(c_2))=((c_1),(0))$

$((0,1),(0,0)) rarr ((0,1),(0,0))((c_1),(c_2))=((c_2),(0))$

$((0,0),(1,0)) rarr ((0,0),(1,0))((c_1),(c_2))=((0),(c_1))$

$((0,0),(0,1)) rarr ((0,0),(0,1))((c_1),(c_2))=((0),(c_2))$

Ergo, la seguente matrice rappresenta la trasformazione lineare rispetto alle due basi naturali:

$f_c=((c_1,c_2,0,0),(0,0,c_1,c_2))$

Insomma, devi discutere il rango della matrice di cui sopra al variare di $(c_1,c_2) in RR^2$.