Polinomio Carratteristico

[daddoloso]

Sia \(\displaystyle p(x)=x^4+x^2 \) si scriva due matrici A e B che abbiano questo polinomio caratteristico, e che A sia diagonalizzabile su C mentre B non lo sia.

Non riesco a capire come scrivere la matrice partendo dal proprio polinomio. Esiste quelche teorema o formula da utilizzare? O sono da fare semplicemente dei calcoli a ritroso?
Grazie.

[Shocker1]

Ciao!

Allora innanzitutto il grado del polinomio caratteristico è uguale all'ordine della matrice, dunque cerchiamo una matrice di ordine $4$; le radici del polinomio sono gli autovalori della matrice: $p(x) = x^4 + x^2$ ha come radici $0$ e $+-i$.
Un'ultima cosa da tenere conto: se una matrice è del tipo \[
C=
\left[
\begin{array}{c|c}
M & N \\
\hline
0 & S
\end{array}
\right]
\]

allora $detC = detM * detS$

Detto ciò procediamo alla costruzione delle matrici: $A$ è diagonalizzabile, quindi perché non costruire direttamente una matrice diagonale?

Per esempio: $A = ( (0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 0), (0, 0, i, 0), (0, 0, 0, -i))$

Per quanto riguarda $B$ basta trovare una matrice non diagonalizzabile, per esempio questa:

$B = ( (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 0), (0, 0, i, 0), (0, 0, 0, -i))$

$A$ e $B$ hanno lo stesso polinomio caratteristico(si calcola facilmente: $A$ e $B$ sono come $C$), $A$ è diagonalizzabile mentre $B$ no, infatti $dimKerB = 1$ e questo basta per affermare la non diagonalizzabilità.

[daddoloso]

Perfetto, tutto chiaro. Molto più banale di quel che pensavo.
Grazie millle.