Topologia: non compatto e non connesso

[Pigreco2016]

Devo preparare l'esame di topologia e vorrei qualche dritta su questo esercizio che ho risolto:
"Si dimostri che $\mathbb{R}$ , munito della topologia discreta, non è né connesso né compatto"
La mia risoluzione è:
Tutti i sottoinsiemi di $\mathbb{R}$ dotato della topologia discreta sono contemporaneamente chiusi e aperti quindi per dimostrare che non è connesso mi basta esibire 2 insiemi che formano una sconnessione di $\mathbb{R}$, per esempio posso prendere un qualsiasi insieme e il suo complementare (essendo entrambi aperti nella topologia discreta) per creare una sconnessione. Quindi $\mathbb{R}$ dotato della topologia discreta non è connesso.
Per dimostrare che non è connesso posso utilizzare direttamente la definizione di compatto (da ogni ricoprimento aperto è possibile estrarre un sottoricoprimento aperto e finito) ed esibire un ricoprimento aperto dal quale non è possibile estrarre un sottoricoprimento finito: il ricoprimento in questione è formato dagli insiemi $(-n,n)$ con $n$ naturale e da esso non è possibile estrarre un sottoricoprimento finito. Secondo voi è giusto questo modo di procedere????

[killing_buddha]

Ogni spazio discreto con più di un numero finito di punti è sconnesso (prendine due distinti) e noncompatto (il ricoprimento fatto dai punti stessi non ha sottoricoprimento finiti).