Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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L'altro giorno a lezione il professore di Geometria si è messo a parlare di equazione parametriche e cartesiane come se noi fossimo già a conoscenza di queste nozioni, ma io non ho idea a cosa stia facendo riferimento. Qualcuno potrebbe aiutarmi a comprendere cosa siano queste equazioni?
Inoltre (forse leggermente off topic, in caso aggiungo al titolo se necessario) dovrei dimostrare, attraverso la definizione di somma vettoriale, la seguente ugualianza
$ pr[vec(c)](vec(u)+vec(w)) = pr[vec(c)]( vec(u)) + pr[vec(c)](vec(w)) $
Ossia che la ...
Ciao a tutti,
Non riesco proprio ad impostare il seguente problema:
Trovare la equazione della retta passante per P(2,4) e perpendicolare alla retta passante per i punti A(1,3) e B(-1,2).
Ho provato a trovare L' equazione della retta passante per A e B, con la formula (x-1)/(-1-1)=(y-3)/(2-3) e poi la retta passante per P: (x-1)/l=(y-3)/m, e adesso non so come procedere....
Grazie in anticipo.
salve a tutti ragazzi, avrei bisogno di un aiuto su quest'esercizio:
In $RR^4$ dotato del prodotto scalare standard si consideri il
sottospazio
$\U = < (2,0,1,-1)^T$, $\(1,0,1,0)^T$, $\(1,-1,-1,0)^T>$
(a) Determinare una base ortonormale di $U$.
(b) Determinare una base ortonormale di $\U^bot$.
(c) L’unione di queste due basi è una base ortonormale di $\RR^4$ ?
(d) Determinare la proiezione ortogonale di $\e_1$ su $\U$.
(e) ...
Il seguente è l'esercizio 18.4.M in Vakil - The rising sea, versione del 29 dicembre 2015.
In quanto segue $k$ è un campo fissato qualsiasi e tutto avviene nella categoria dei $k$-schemi.
Sia $\mathcal C \subseteq \mathbb P ^2 \times \mathbb P ^5$ lo schema definito dall'equazione $$ a_{00} x_0^2 + a_{01} x_0 x_1 + \cdots + a_{22} x_2^2 = 0$$ dove le $x_i$ sono le coordinate omogenee di $\mathbb P ^2$ e le $a_{ij}$ sono le coordinate omogenee di ...
Buongiorno ragazzi,
ho due dubbi.
la somma delle molteplicità geometriche (dim(Ker (A-LI)) per i=1...n) non può superare n visto che consideriamo autovettori di n componenti in R^n, e bene che vada il massimo sottospazio ottenibile sommando i vari autospazi V(i) è R^n stesso e una base di R^n ha al massimo n vettori l.i.. E' corretto?
Inoltre come mai gli autovettori (che possono essere presi come base per gli autospazi) sono tra loro l.i. di modo che se conglobati per colonna formano la ...
Salve ragazzi, sono alle prese con alcuni esercizi per la preparazione dell'esame di geometria.
Attualmente riesco a ottenere gli autovalori e gli autovettori associati ad una generica matrice, avendone capito il significato, ma mi trovo in difficolta davanti ad un punto di un esercizio, per il quale non trovo il sistema con il quale affrontarlo.
tale punto recita così:
Sia B una matrice 3 x3 con gli autovalori -3; 3 e 5: Calcolare la traccia di 2(B^ 2)+B;
conosco la relazione tra traccia e ...
Ciao a tutti,
ecco un dubbio che mi assilla da qualche giorno:
consideriamo l'equazione differenziale:
$ {dX(t)}/dt=AX(t) $
in cui $ X(t) $ è un vettore di R^n.
Le componenti di X(t) non sono a loro volta vettori?
Infatti quando trovo le soluzioni dell'equazione differenziale trovo somme tra esponenziali.
Forse faccio confusione tra vettori e coordinate.... :O
Grazie
ciao a tutti ragazzi mi date una mano sono un po confuso sullo svolgimento di questo esercizio
-Stabilire che la conica $ C=4x^2+3y^2-7xy+5x-4y+1=0$ è degenere e trovare le componenti
Dopo aver stabilito che la conica è effettivamente degenere cerco le componenti e qua mi vengono dei dubbi
vado a cercare il delta $ Delta = 2 $ a questo punto con la formula per le equazioni di secondo grado trovo due rette
$ -8x+7y-3=0 $ $ -8x+7y-7=0 $ che sarebbero le componenti della conica ma ...
Salve!
Premettendo che ci ho sbattuto la testa per tutto il pomeriggio, volevo chiedere un aiuto nella risoluzione del seguente esercizio:
"Sia data, al variare del parametro reale $t$, l' applicazione $f_(t):R^3rarrR^3$ data da:
$f_(t)(e_(1)) = (t, 0 ,0)$
$f_(t)(e_(2)) = (t+1, t^2+t ,0)$
$f_(t)(e_(3)) = (t^2-t, t-1 ,t^2-t)$
(a) Dire per quali valori di $t$ il vettore $v = (0,4 -4)$ appartiene all'immagine di $f_(t)$
(b) Determinare l'antiimmagine di $v$ per ...
Buonasera a tutti,
ho un problema con un esercizio di topologia; l'esercizio chiede di stabilire se il toro \ {punto} è omeomorfo a una sfera \ {3 punti}. Io sono riuscito a mostrare che entrambi gli spazi sono omotopi a un bouquet di 2 circonferenze e sono quindi omotopi, ma non mi viene in mente nulla per dimostrare che sono omeomorfi (o che non lo sono). Qualcuno riesce ad aiutarmi?
Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano con la Curvatura Geodetica - in rete non si trova proprio nulla Ho la seguente superficie: $\sigma (u,v)=(u^2,v^2, \sqrt{1+u^2+v^2})$ e devo calcolare la curvatura geodetica della curva a livello $h$ con equazione in parametro d'arco $\alpha(t)=(\sqrt{h^2-1}cos\frac{t}{\sqrt{h^2-1}},\sqrt{h^2-1}sin\frac{t}{\sqrt{h^2-1}},h)$. Escludendo il calcolare la normale, la derivata seconda della parametrizzazione ecc ecc, come si può trovare la curvatura geodetica rapidamente - anche tramite una dimostrazione o un ragionamento?
Grazie
Ciao a tutti sono disperato con questo esercizio datemi una mano
Esercizio : cercare la sfera passante per i punti $ A(0,6,4)B(4,3,3) $ e tangente ai piani $ pi : z=5 $ e $ pi' : z=-5 $
Intanto i piani sono paralleli tra loro e ci dicono subito che il raggio è pari a 5 e da questi si capisce che le coordinate del centro saranno $ C(k,t,0) $, quindi cosa so che $ (x-k)^2+(y-t)^2+(z-0)^2=5^2 $ quindi mancano proprio le coordinate del centro $ k t $ e qua devo usare i punti ...
Salve mi trovo in difficoltà per verificare se una matrice è diagonalizzabile, e sopratutto quando ci sono incognite nella matrice, metto un esercizio:
Si consideri per ogni t che appartiene a R la matrice: $((3,6,-3),(0,1,1),(0,t,-1))$
a) determinare per quali t, la matrice non è diagonalizzabile
b) se possibile trovare una base di R^3 formata di autovettori della matrice per t=8
io ho capito che per vedere se è diagonalizzabile la molteplicità geometrica ed algebrica devono coincidere, ma ho anche ...
Buongiorno a tutti,
mi stavo esercitando con le matrici del di cambiamento di base con base canonica...fin qui nessun problema, mi sono accorto però che la professoressa ci ha fatto scrivere che la matrice diciamo "immediata"(quella alla quale basta scrivere per colonna i vettori della base B) indicata con M c->b, su dispense trovate su internet dice il viceversa cioè la matrice M b->c è la matrice avente per colonne le coordinate dei vettori di B... Ora, non riesco a capire se ho torto io o ...
Dato l'esercizio:
Sia T l'applicazione lineare da R^3 a R^3 definita da T(x, y, z) = (3x-2y, x+y+z, 2x-3y-z), si scriva la matrice associata a T rispetto alla base B={(2,1,0), (1,1,0), (0,1,1)}.
A quanto ho capito questo genere di esercizio si fa creando la matrice associata partendo dalla base che prendo in considerazione per lo spazio V, e poi esprimo i vettori di questa matrice tramite le coordinate che li definiscono moltiplicandosi per la base che considero per lo spazio W.
Ma in un caso ...
Salve!
Mi sto cimentando con un paio di esercizi sulle proiezioni ortogonali, e purtroppo ho dei dubbi che non riesco proprio a risolvere
Per cominciare, la proiezione ortogonale di un generico vettore $v$ su di un sottospazio $W$, ovvero $P_(W)(v)$ è a tutti gli effetti un'applicazione lineare, avente un'immagine e un nucleo (giusto?); detto ciò, non mi è chiaro innanzitutto perchè $W^(_|_) = ker (P_(W))$ e contemporaneamente $Im(P_(W)) = W$.
Fatta ...
ho le seguenti richieste:
sia $ W= RR_(<=3)[X] $ (polinomi di grado al più due) e si considerino i seguenti suoi sottospazi
$ S={p(x)inW : p(1)=p(-1) } $ e $ T=<x^3-1,x^2,x-x^2,x^3-2x-1> $ .
i) Determinare una base e la dimensione dell'intersezione dei due sottospazi.
ii) Definire un'applicazione lineare $f: W ->W $ tale che $Im f=S $
per il primo punto ho imposto la condizione p(1)=p(-1) che mi ha permesso di trovare $ a_3=-a_1 $ per cui svolgendo i calcoli ho trovato che un polinomio di S è della ...
Salve, mi trovo in difficoltà nel capire come trovare la matrice rappresentativa di un'applicazione lineare, e a quanto ho capito la dimensione dell'immagine si calcola proprio trovando il rango di questa. Ad esempio in questo problema non riesco proprio ad iniziare proprio perchè la prima cosa che chiede è la matrice rappresentativa:
Si consideri l'applicazione lineare f di M(2,R) in R^3 definita da:
f $((a,b),(c,d))$ = (2a+b-d, a+3b, 5b+d)
a) Scrivere la matrice che rappresenta f ...
Salve, non riesco a capire come procedere in questo esercizio dove mi chiede di verificare che i polinomi 1,x,x^2 generano lo spazio vettoriale R2(x), se sono linearmente indipendenti ed infine di calcolare la dimensione di R2(x).
il mio problema è sostatema di sostanzialmente come dimostrare che ax^2 + bx + c è in effetti un sistema di generatori giusto?
Grazie in anticipo
Sia \(\displaystyle p(x)=x^4+x^2 \) si scriva due matrici A e B che abbiano questo polinomio caratteristico, e che A sia diagonalizzabile su C mentre B non lo sia.
Non riesco a capire come scrivere la matrice partendo dal proprio polinomio. Esiste quelche teorema o formula da utilizzare? O sono da fare semplicemente dei calcoli a ritroso?
Grazie.
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