Esercizio sulle equazioni canoniche delle coniche
Ciao, risolvendo un esercizio di algebra lineare mi sono imbattuto in un esercizio sulle coniche e non riesco a spiegarmi alcune cose. Scrivo un esercizio già risolto dal mio professore.
Trovare l’equazione canonica della conica [tex]3x^2 + 6xy + 3y^2 + 4x + 6y + 3 = 0[/tex] poi classificarla.
Inizia trovando gli autovalori e autovettori
[tex]A=\begin{bmatrix}
3 & 3\\ 3
&3
\end{bmatrix}[/tex]
[tex]P_A(\lambda )=det(A-\lambda I)=(\lambda -6)\lambda[/tex]
Per [tex]\lambda_1=6[/tex] avremo [tex]\alpha (1,1)[/tex]
Per [tex]\lambda_2=0[/tex] avremo [tex]\beta (1,-1)[/tex]
In seguito sceglie dei valori da assegnare ad [tex]\alpha[/tex] e [tex]\beta[/tex] pari a:
[tex]\alpha =\frac{\sqrt[]{2}}{2}[/tex]
[tex]\beta =-\frac{\sqrt[]{2}}{2}[/tex]
e costruisce la matrice di rotazione
[tex]B=\begin{bmatrix}
\frac{\sqrt[]{2}}{2} & -\frac{\sqrt[]{2}}{2} \\ \frac{\sqrt[]{2}}{2}
& \frac{\sqrt[]{2}}{2}
\end{bmatrix}[/tex]
Successivamente trova i nuovi valori [tex]d' , e'[/tex], costruisce il nuovo sistema e ricava la nuova equazione dove determinerà il tipo di canonica.
Quello che mi lascia perplesso sono 2 cose:
1) Come fa a determinare qual è tra [tex]6[/tex] e [tex]0[/tex] l'ordine di [tex]\lambda_1 , \lambda_2[/tex] ?
2) Con quale criterio scelgo i valori di [tex]\alpha[/tex] e [tex]\beta[/tex] ?
In ogni esercizio risolto mi blocco sempre in questi 2 passaggi, potete aiutarmi?
Grazie!!
Trovare l’equazione canonica della conica [tex]3x^2 + 6xy + 3y^2 + 4x + 6y + 3 = 0[/tex] poi classificarla.
Inizia trovando gli autovalori e autovettori
[tex]A=\begin{bmatrix}
3 & 3\\ 3
&3
\end{bmatrix}[/tex]
[tex]P_A(\lambda )=det(A-\lambda I)=(\lambda -6)\lambda[/tex]
Per [tex]\lambda_1=6[/tex] avremo [tex]\alpha (1,1)[/tex]
Per [tex]\lambda_2=0[/tex] avremo [tex]\beta (1,-1)[/tex]
In seguito sceglie dei valori da assegnare ad [tex]\alpha[/tex] e [tex]\beta[/tex] pari a:
[tex]\alpha =\frac{\sqrt[]{2}}{2}[/tex]
[tex]\beta =-\frac{\sqrt[]{2}}{2}[/tex]
e costruisce la matrice di rotazione
[tex]B=\begin{bmatrix}
\frac{\sqrt[]{2}}{2} & -\frac{\sqrt[]{2}}{2} \\ \frac{\sqrt[]{2}}{2}
& \frac{\sqrt[]{2}}{2}
\end{bmatrix}[/tex]
Successivamente trova i nuovi valori [tex]d' , e'[/tex], costruisce il nuovo sistema e ricava la nuova equazione dove determinerà il tipo di canonica.
Quello che mi lascia perplesso sono 2 cose:
1) Come fa a determinare qual è tra [tex]6[/tex] e [tex]0[/tex] l'ordine di [tex]\lambda_1 , \lambda_2[/tex] ?
2) Con quale criterio scelgo i valori di [tex]\alpha[/tex] e [tex]\beta[/tex] ?
In ogni esercizio risolto mi blocco sempre in questi 2 passaggi, potete aiutarmi?
Grazie!!
Risposte
ciao, io di solito non amo diagonalizzare la matrice per trovare la forma canonica e pertanto non sono pratico di tale metodo... uso però quello degli invarianti ortogonali per determinarla... è abbastanza schematico, oltre che "calcoloso"
Purtroppo conosco solo il metodo con le matrici. Quello che tu usi è un metodo più veloce o semplice?
Più che altro è abbastanza meccanico..
Ti invio un MP con il pdf del mio docente..
"davide12":
Inizia trovando gli autovalori e autovettori
\( A=\begin{bmatrix} 3 & 3\\ 3 &3 \end{bmatrix} \)
\( P_A(\lambda )=det(A-\lambda I)=(\lambda -6)\lambda \)
Per \( \lambda_1=6 \) avremo \( \alpha (1,1) \)
Per \( \lambda_2=0 \) avremo \( \beta (1,-1) \)
In seguito sceglie dei valori da assegnare ad \( \alpha \) e \( \beta \) pari a:
\( \alpha =\frac{\sqrt[]{2}}{2} \)
\( \beta =-\frac{\sqrt[]{2}}{2} \)
e costruisce la matrice di rotazione
\( B=\begin{bmatrix} \frac{\sqrt[]{2}}{2} & -\frac{\sqrt[]{2}}{2} \\ \frac{\sqrt[]{2}}{2} & \frac{\sqrt[]{2}}{2} \end{bmatrix} \)
2) Con quale criterio scelgo i valori di \( \alpha \) e \( \beta \) ?
Ciao,
una volta cercati gli autovalori, bisogna ricavare gli autovettori:
considero il caso di $lambda_1=6$:
$( ( -3 ,3 ),( 3 , -3 ) ) ((alpha),(beta))=0 hArr -alpha+beta=0 hArr beta=alpha hArr ((alpha),(alpha))=alpha((1),(1)), AA alpha in RR.$
prendo il caso di $lambda_2=0$:
$( ( 3 ,3 ),( 3 , 3 ) ) ((alpha),(beta))=0 hArr alpha+beta=0 hArr alpha=-beta hArr ((-beta),(beta))=beta((1),(-1)), AA beta in RR.$[nota]In entrambi i casi le equazioni ammettono $oo^1$ soluzioni (cioè le soluzioni trovate continuano a valere per ogni $alpha$ e $beta$ si voglia scegliere in $RR$). L'infinità delle soluzioni dell'equazione di uno autospazio coincide con la molteplicità geometrica![/nota]
Ora abbiamo una base di autovettori ${((1),(1)),((1),(-1))}$, però per poter diagonalizzare la matrice di partenza occorre ancora un passaggio: ortonormalizzare tale base.
Sappiamo che i due vettori sono ortogonali (poiché sono autovettori relativi ad autovalori distinti), quindi ci resta solo da verificare la norma:
$||((1),(1))||=||((1),(1))||=sqrt(2)$
Non hanno norma uguale a $1$: per normalizzare qualsiasi vettore basta dividerlo per la sua stessa norma:
${1/sqrt(2)((1),(1)),1/sqrt(2)((1),(-1))}$
Il tuo professore ha voluto anche razionalizzare la base:
$f={sqrt(2)/2((1),(1)),sqrt(2)/2((1),(-1))}$
Ora, la matrice di partenza (essendo diagonalizzabile) è simile a una matrice diagonale, e vale la seguente relazione:
$B^(-1)AB=D=((6,0),(0,0))$
Dove $B=B_(ef)$ è la matrice del cambiamento di base (o la matrice di rotazione):
$B=((sqrt(2)/2,sqrt(2)/2),(sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2))$
Operando il cambiamento di variabili pongo:
$((x),(y))=B((z),(w))=((sqrt(2)/2,sqrt(2)/2),(sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2))((z),(w))={ ( x=sqrt2/2z+sqrt2/2w ),( y=sqrt2/2z-sqrt2/2w ):}$
"davide12":
Successivamente trova i nuovi valori \( d' , e' \), costruisce il nuovo sistema e ricava la nuova equazione dove determinerà il tipo di canonica.
Qui non ho capito io a cosa servano "i nuovi valori \( d' , e' \); che ci ha fatto poi??
"davide12":
Quello che mi lascia perplesso sono 2 cose:
1) Come fa a determinare qual è tra \( 6 \) e \( 0 \) l'ordine di \( \lambda_1 , \lambda_2 \) ?
L'ordine degli autovalori dipende da come hai ordinato gli autovettori nella base.
Se avessi messo $f'={sqrt(2)/2((1),(-1)),sqrt(2)/2((1),(1))}$, avrei ottenuto la seguente matrice: $((0,0),(0,6))$.
"Magma":
Ciao,
una volta cercati gli autovalori, bisogna ricavare gli autovettori:
considero il caso di $lambda_1=6$:
$( ( -3 ,3 ),( 3 , -3 ) ) ((alpha),(beta))=0 hArr -alpha+beta=0 hArr beta=alpha hArr ((alpha),(alpha))=alpha((1),(1)), AA alpha in RR.$
prendo il caso di $lambda_2=0$:
$( ( 3 ,3 ),( 3 , 3 ) ) ((alpha),(beta))=0 hArr alpha+beta=0 hArr alpha=-beta hArr ((-beta),(beta))=beta((1),(-1)), AA beta in RR.$
Ora abbiamo una base di autovettori ${((1),(1)),((1),(-1))}$, però per poter diagonalizzare la matrice di partenza occorre ancora un passaggio: ortonormalizzare tale base.
Sappiamo che i due vettori sono ortogonali (poiché sono autovettori relativi ad autovalori distinti), quindi ci resta solo da verificare la norma:
$||((1),(1))||=||((1),(1))||=sqrt(2)$
Non hanno norma uguale a $1$: per normalizzare qualsiasi vettore basta dividerlo per la sua stessa norma:
${1/sqrt(2)((1),(1)),1/sqrt(2)((1),(-1))}$
Il tuo professore ha voluto anche razionalizzare la base:
$f={sqrt(2)/2((1),(1)),sqrt(2)/2((1),(-1))}$
Ora, la matrice di partenza (essendo diagonalizzabile) è simile a una matrice diagonale, e vale la seguente relazione:
$B^(-1)AB=D=((6,0),(0,0))$
Dove $B=B_(ef)$ è la matrice del cambiamento di base (o la matrice di rotazione):
$B=((sqrt(2)/2,sqrt(2)/2),(sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2))$
Operando il cambiamento di variabili pongo:
$((x),(y))=B((z),(w))=((sqrt(2)/2,sqrt(2)/2),(sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2))((z),(w))={ ( x=sqrt2/2z+sqrt2/2w ),( y=sqrt2/2z-sqrt2/2w ):}$
Fin qui ci sono, grazie.
"Magma":
Qui non ho capito io a cosa servano "i nuovi valori \( d' , e' \); che ci ha fatto poi??
Una volta trovati i nuovi valori \( d' , e' \) costruisco la nuova equazione:
[tex]\begin{bmatrix}
d' & e'
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
d & e
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
B
\end{bmatrix}[/tex]
[tex]\begin{bmatrix}
d' & e'
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
4 & 6
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
\frac{\sqrt2}{2} & -\frac{\sqrt2}{2}\\
\frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2}
\end{bmatrix}[/tex]
[tex]\lambda _1(x')^2+\lambda _2(y')^2+d'x'+e'y'+f=0[/tex]
[tex]6(x')^2+0(y')^2+5 \sqrt2x'+\sqrt2y'+3=0[/tex]
Una volta messo in cumune e fatto il falso quadrato viene fuori:
[tex]y'+\frac{11\sqrt2}{24}=-3\sqrt2(x'+\frac{5\sqrt2}{12})[/tex]
Sostituendo:
[tex]Y=-3\sqrt2X^2 = PARABOLA[/tex]
Esercizio concluso.
"Magma":
L'ordine degli autovalori dipende da come hai ordinato gli autovettori nella base.
Se avessi messo $f'={sqrt(2)/2((1),(-1)),sqrt(2)/2((1),(1))}$, avrei ottenuto la seguente matrice: $((0,0),(0,6))$.
L'ordine degli autovalori non l'ho capito proprio. Ad esempio anche in altri esercizi dove servono gli autovalori e autovettori diverso dalle coniche, li prende sempre in un ordine non logico.
"davide12":
[quote="Magma"]
L'ordine degli autovalori dipende da come hai ordinato gli autovettori nella base.
Se avessi messo $f'={sqrt(2)/2((1),(-1)),sqrt(2)/2((1),(1))}$, avrei ottenuto la seguente matrice: $((0,0),(0,6))$.
L'ordine degli autovalori non l'ho capito proprio. Ad esempio anche in altri esercizi dove servono gli autovalori e autovettori diverso dalle coniche, li prende sempre in un ordine non logico.[/quote]
Li prende in un ordine non logico perché non c'è nessuno ordine logico da seguire...
In genere si mettono (nell'equazione e di conseguenza nella matrice) prima gli autovalori positivi, poi negativi e infine quelli nulli... L'importante (qualora venisse chiesto di esibire la base ortonormale, la matrice del cambiamento di base e/o il cambiamento di variabili da effettuare) è di essere coerente con l'ordine degli autovettori; chiaro?
Credo di aver capito ora, grazie 
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