Campo tangente e derivata covariante

[V123E]

Ciao a tutti, avrei qualche domanda su campo tangente e derivata covariante. Prima dirò quello che ho capito (o meglio, che penso di aver capito) e poi pian piano dirò le mie perplessità. Dunque, un campo di vettori tangente è data $S$ una superficie $p\in S$, una funzione $X:S\rightarrow T_pS$: in pratica, ad ogni punto della superficie "attacco" un vettore, in modo tale che appertenga al tangente. Ora, introduco la derivata convariante che è una funzione dal tangente in sé e ha come scopo quello di derivare $X$ nel senso usuale del termine e poi proiettarlo sul tangente. Inizialmente ero perplessa, poiché ho sempre pensato, più o meno erroneamente, che la derivata di un vettore fosse ortogonale allo stesso, e quindi che non aveva nessun significato proiettare un vettore ortogonale al tangente sul tangente. Ma poi, sfogliando il "Do Carmo", mi sono resa conto che la prima derivata si fa lungo una direzione appartenente al tangente, e qui mi sorge spontanea una domanda: cosa significa derivare una funzione a valori vettoriali rispetto a un vettore dal punto di vista intuitivo? La derivata così ottenuta sarà ortogonale a quel vettore?
Ogni altra delucidazione, anche non richiesta, è ben accetta.
Grazie a tutti

[apatriarca]

Ignoro per il momento la geometria differenziale e torno al caso semplice di \(\mathbb R^n\). In questo caso, considero una funzione differenziabile \( X \colon \mathbb R^n \to \mathbb R^n. \) Se scelgo un punto \(x_0\) e un vettore \(v\) posso definire la derivata di \(X\) in direzione \(v\) nel punto \(x_0\) come semplicemente \( d X(x_0 + v*t) / dt \) calcolata in \(t = 0\). Un discorso simile vale per i campi tangenti su superfici. In questo caso abbiamo la funzione \( X \colon S \to \mathbb R^2 \) e la derivata sarà definita in modo simile prendendo una curva sulla superficie opportuna al posto della retta. L'idea intuitiva è quella di vedere come cambia il vettore quando ci si sposta di poco lungo la direzione \(v\).

[V123E]

Grazie!!