Base Nucleo e Immagine
Salve, mi trovo in difficoltà nel capire come trovare la matrice rappresentativa di un'applicazione lineare, e a quanto ho capito la dimensione dell'immagine si calcola proprio trovando il rango di questa. Ad esempio in questo problema non riesco proprio ad iniziare proprio perchè la prima cosa che chiede è la matrice rappresentativa:
Si consideri l'applicazione lineare f di M(2,R) in R^3 definita da:
f $((a,b),(c,d))$ = (2a+b-d, a+3b, 5b+d)
a) Scrivere la matrice che rappresenta f rispetto le basi standard di M(2,R) e di R^3
b) Trovare una base di Ker f, una base di Im f, e le loro dimensioni
Grazie in anticipo
Si consideri l'applicazione lineare f di M(2,R) in R^3 definita da:
f $((a,b),(c,d))$ = (2a+b-d, a+3b, 5b+d)
a) Scrivere la matrice che rappresenta f rispetto le basi standard di M(2,R) e di R^3
b) Trovare una base di Ker f, una base di Im f, e le loro dimensioni
Grazie in anticipo
Risposte
prendi quanto ti dico con le pinze perchè sto studiando queste cose anche io in questi giorni quindi non so se siano proprio corrette. io comunque userei l'isomorfismo canonico delle matrici con $ RR^(2\times2)=RR^4 $
esplicitare la matrice associata credo sia adesso immediato: $ A_f= ( ( 2 , 1 , 0 , -1 ),( 1 , 3 , 0 , 0 ),( 0 , 5 , 0 , 1 ) ) $
poichè i vettori colonna della matrice rappresentativa di f costituiscono un sistema di generatori per $ Im(f) $ ti basta trovare il massimo numero di vettori linearmente indipendenti (per esempio studiando il rango della matrice).
per trovare invece una base del nucleo io risolverei il sistema $ ( ( 2 , 1 , 0 , -1 ),( 1 , 3 , 0 , 0 ),( 0 , 5 , 0 , 1 ) ) ( ( x ),( y ),( z ),( t ) ) = ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $ ed espliciterei i vettori che generano le soluzioni. per trovare invece la dimensione hai due modi: o conti il numero di vettori che formano le basi dei due sottospazi vettoriali o utilizzi il teorema di nullità più rango.
esplicitare la matrice associata credo sia adesso immediato: $ A_f= ( ( 2 , 1 , 0 , -1 ),( 1 , 3 , 0 , 0 ),( 0 , 5 , 0 , 1 ) ) $
poichè i vettori colonna della matrice rappresentativa di f costituiscono un sistema di generatori per $ Im(f) $ ti basta trovare il massimo numero di vettori linearmente indipendenti (per esempio studiando il rango della matrice).
per trovare invece una base del nucleo io risolverei il sistema $ ( ( 2 , 1 , 0 , -1 ),( 1 , 3 , 0 , 0 ),( 0 , 5 , 0 , 1 ) ) ( ( x ),( y ),( z ),( t ) ) = ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $ ed espliciterei i vettori che generano le soluzioni. per trovare invece la dimensione hai due modi: o conti il numero di vettori che formano le basi dei due sottospazi vettoriali o utilizzi il teorema di nullità più rango.
Mi permetto di confermare quanto trovato da cooper.
La matrice che rappresenta l'applicazione si trova proprio disponendo per colonna le immagini della base canonica!
ii) il procedimento per il $ker(f) $ va bene. Una volta trovato hau già la sua dimensione ovviamente (cardinalita della base).
Applichi "nullità più rango" e trovi la dimensione dell'immagine, sia essa $m$.
Una base di $Im (f) $ è data da $m$ vettori linearmente indipendenti della matrice associata.
@cooper: nullità più rango si deve usare quando si è già ricavata la dimensione del nucleo o dell'immagine( dato che lo spazio di partenza è noto).
La matrice che rappresenta l'applicazione si trova proprio disponendo per colonna le immagini della base canonica!
ii) il procedimento per il $ker(f) $ va bene. Una volta trovato hau già la sua dimensione ovviamente (cardinalita della base).
Applichi "nullità più rango" e trovi la dimensione dell'immagine, sia essa $m$.
Una base di $Im (f) $ è data da $m$ vettori linearmente indipendenti della matrice associata.
@cooper: nullità più rango si deve usare quando si è già ricavata la dimensione del nucleo o dell'immagine( dato che lo spazio di partenza è noto).
sisi mi sono solo espresso male. la formula è $ dim V= dim (ker f)+ dim(Im f) $ e basta che conosco una delle due dimensioni 
grazie per la conferma comunque 
grazie per la conferma comunque
Tutto molto chiaro, grazie ad entrambi. Ho solo un dubbio, è possibile trovare un un insieme di matrici al posto dei vettori? Ed in quel caso la matrice rappresentativa come andrebbe posta?
Certo che è possibile. Per esempuo, nel nucleo troverai un insieme di matrici che tramite la tua applicazione vengono mandate nel vettore nullo.
ok perfetto grazie mille
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