Base dell'intersezione

[enrico.bellemo]

Salve! Ho bisogno di una mano con questo esercizio:

Dati $W = span( | ( 1 ),( 0 ),( 1 ) | , | ( 0 ),( 1 ),( 0 ) |) $ e $U = span( | ( 1 ),( -1 ),( 0 ) |, | ( 0 ),( 1 ),( -1 ) |) $

si deve calcolare la dimensione ed una base di $UnnW$

Ora, dalla matrice data dai 4 vettori incolonnati e da una sua riduzione a scala, ottengo:

$ U+W = | ( 1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , -1 , -1 ) | $ e da qui il procedimento illustrato dalla prof non mi è molto chiaro;

ciò consiste nel porre $ { ( y_(2) = b ),( y_(1)+y_(2) = 0rarry_(1) = -b ):} $

per poi fare: $y_(1) | ( 1 ),( -1 ),( 0 ) | + y_(2) | ( 0 ),( 1 ),( -1 ) | = b| (-1), (2), (-1)|$

che è la base dell'intersezione.

Io non capisco perchè è stata usata solo l'equazione $y_(1)+y_(2) = 0$ (ultima riga) che, almeno ai miei occhi, va in conflitto con quella data dalla seconda riga, cioè $-y_(1)+y_(2) = 0 rarr y_(1)=y_(2)=b$


Grazie!

[feddy]

Se un vettore appartiene all'intersezione, ciò significa che può essere scritto SIA come comb. lineare di W, SIA come comb.lineare di U.
La tua prof ha cercato la dimensione di U+W per poter sfruttare la formula di Grassman

[enrico.bellemo]

Certamente, ma a me non torna il procedimento "analitico"... Di preciso, quali sono i passaggi da fare? E perchè, come scritto sopra, trovo un "conflitto" tra le due equazioni?

[feddy]

il metodo analitico è esattamente quello che ti ho detto...

sia $vinUcapW$

allora $vinU ^^ vinW$, quindi:
$ vinWrArr EE a,b inR | v= a((1),(0),(1)) + b((0),(1),(0)) $
$ vinUrArr EE c,d inR | v=c((1),(-1),(0)) + d((0),(1),(-1)) $

eguagliamo le due combinazioni lineari:
$ a((1),(0),(1)) + b((0),(1),(0)) -c((1),(-1),(0)) - d((0),(1),(-1)) =0$

otteinamo il sistema $ [ ( 1 , 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 1 , -1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 1 ,0 ) ] ~ [ ( 1 , 0 ,-1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 1 , -1 , 0 ),(0 , 0 , 1 , 1 ,0 ) ] $

da cui $ { ( a=c ),( d=b+c ),( c=-d ),( d=mu ):} $

quindi $ { ( a=-d ),( b=2d),( c=-d ),( d=mu ):} $

Sotituisco ora i coefficienti trovati nella prima combinazione lineare che generava $v$.
Abbiamo che $v=((a),(b),(a))$ quindi $ v=((-d),(2d),(-d)) $ . Un generico elemento dell'intersezione è quindi generato dai vettori che hanno questa forma, con $dinR$

Pertanto, $B_{UcapW}= langle((-1),(2),(-1))rangle$.

Chiaro ?

[feddy]

ovviamente soddisfa grassmann: $dim(U+W)=dim(U)+dim(W) - dim(UnnW)$ , cioè $3 = 4- xi$, da cui $xi=1$ è la conferma che abbiamo fatto giusto.

[enrico.bellemo]

Bravissimo feddy! Grazie infinite!