Piani e rette incidenti

[Elbory]

Salve,non so la soluzione di questo quesito e vorrei sapere se il mio approccio è corretto.

Sia $ alpha $ la retta passante per il punto $ P (1,-1,1) $ ,contenuta nel piano $ S : 2x - 3y - 2z - 3 = 0 $ e incidente la retta $ beta : x = 2 - t , y = 1 , z= 3 + 3t $

a) Determinare un'equazione cartesiana del piano $ S' $ passante per $ Q (2,1,0) $ e parallelo sia ad $ alpha $ che $ beta $ .
b) Il piano $ S' $ contiene $ alpha $ ? Contiene $ beta $ ?
c) Si può determinare un piano $ S'' $ ortogonale ad $ S' $ e parallelo ad $ alpha $ ? Se $ S'' $ esiste è unico?


a) Visto che $ beta $ passa dal punto $ (2,1,3) $ e $ alpha $ deve passare da $ P $ ho cercato la retta per questi due punti , $ (x-1)/1 = (y+1)/2=(z-1)/2 $ , ottenendo ad esempio $ 2x-y-3=0 $ ...ed equazione cartesiana di $ alpha $ :

$ { ( 2x-y-3=0 ),( 2x-3y-2z-3=0 ):} $

Poi per trovare $ S'$ ho trovato i parametri direttori di $ alpha $ e $ beta $ ,cioè $ (2,4,-4) $ e $ (-1,0,3) $, per poi trovarne il determinante insieme all'eq. generica del piano per il punto $ Q (2,1,0) $ :

$ | ( x-2 , y-1 , z ),( 2 , 4 , -4 ),( -1 , 0 , 3 ) | = 0 $

Ottenendo $ S' : 12x -2y+4z-22=0 $

b) Non dovrebbe contenere nessuna delle due perchè $ S' $ non è verificato per $ (1,-1,1) $ e $ (2,1,3) $

c) Per il terzo punto ho applicato simultaneamente $ a'a+ b'b+ c'c = 0 $ per l'ortogonalità e $ al + bm+cn=0 $ per il parallelismo,trovando $ a,b,c $ in funzione di un parametro $ t $ ,cioè :

$ { ( b= 14t ),( a=-2t ),( c=13t ):} $

Dipendendo dal parametro le soluzioni dovrebbero essere infinite...e quindi $ S'' $ non unico

Grazie in anticipo per la risposta

[Studente Anonimo]

"Elbory":
Sia $\alpha$ la retta passante per il punto $P(1,-1,1)$, contenuta nel piano $S: 2x-3y-2z-3=0$ e incidente la retta $\beta: x=2-t, y=1, z=3+3t$

Sostituendo:

$\{(x=2-t),(y=1),(z=3+3t):}$

nell'equazione del piano:

$2x-3y-2z-3=0$

si ottiene il punto d'intersezione tra la retta $\beta$ e il piano $S$:

$[4-2t-3-6-6t-3=0] rarr [t=-1] rarr Q(3,1,0)$

Insomma, la retta $\alpha$ passa per i punti $P(1,-1,1)$ e $Q(3,1,0)$.