Spazio vettoriale di dimensione infinita e suo duale

[Descartes1]

Sono ancora alle prese con algebra lineare e sto cercando di rifinire alcuni dubbi. Ho trovato il seguente quesito su cui ho alcune difficoltà:

Sia $V$ uno spazio vettoriale finitamente generato, provare che $dimV=dimV^\star$ ed esibire un isomorfismo tra $V$ e $V^\star$

Velocemente $B={v_1,...,v_n}$ base di V, è facile vedere che $B^\star={v_1^\star,...,v_n^\star}$ è base di $V^\star$, per esibire un isomorfismo si può fare in tanti modi per esempio (il più contorto) utilizzando il teorema di Rappresentazione di Riesz.

Le affermazioni precedenti restano valide nel caso in cui $V$ non sia finitamente generato?

Qui arrivano i miei dubbi: il suggerimento dato consiste nel considerare lo spazio vettoriale $C_0$ delle successioni a valori in $\mathbb{R}$ definitivamente nulle e di dimostrare che $C_0$ ha dimensione numerabile, mentre il suo duale ha cardinalità del continuo. Sono convinto del fatto che una base di $C_0$ abbia cardinalità numerabile, ma non riesco a capire come questa possa "aumentare di cardinalità" passando al duale.

[apatriarca]

In breve la risposta è no. Se \(V\) è di dimensione infinita non esiste più un isomorfismo tra \(V\) e il suo duale \(V*\). Gli esempi vengono normalmente presi dagli spazi di funzioni. Considera per esempio le funzione differenziabili in \(\mathbb R\). Possiamo costruire un omomorfismo iniettivo \( f \mapsto (g \mapsto \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,g(x)\,dx ) \) dallo spazio al suo duale. Tuttavia questo omomorfismo non è certamente suriettivo in quanto esistono dei funzionali, come il delta di Dirac che associa ad ogni funzione il suo valore in \(0\) che non è nell'immagine di questa mappa.

EDIT: Nel tuo esempio.. Come è fatto il duale? Ovviamente hai che ogni successione del tuo tipo può essere mandata al duale con il solito prodotto scalare.. Ma se fai questa operazione con altre successioni? Fanno anche loro parte del duale?