Esibire una base di R 3 costituita da autovettori di A

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13 set 2016, 17:10

Salve a tutti, qualcuno può aiutarmi col secondo punto di questo esercizio?:

Data la matrice reale A =
1 1 0
1 1 0
1 −1 2
(i) calcolare gli autovalori e gli autospazi di A;
(ii) stabilire se A `e diagonalizzabile e, in caso di risposta affermativa, esibire una base di R3 costituita da autovettori di A.

Gli autovettori sono (-1, 1, 1) per l'autovalore 0 e {(1,1,0), (0, 0, 1)} per l'autovalore 2 (molteplicità due).
La matrice è diagonalizzabile perchè p una matrice 3x3 con 3 autovettori distinti.

Ora come esibisco una base di R3 costituita dagli autovettori di A? Non ho ben capito cosa chiede l'esercizio

Grazie in anticipo!

Risposte

Magma1

13 set 2016, 15:32

"RinOkumura":

Gli autovettori sono (-1, 1, 1) per l'autovalore 0 e {(1,1,0), (0, 0, 1)} per l'autovalore 2 (molteplicità due).
La matrice è diagonalizzabile perchè p una matrice 3x3 con 3 autovettori distinti.

La proposizione è che hai citato è la seguente: "una matrice $nxxn$, avente $n$ autovalori distinti, è diagonaliazzabile!

Comunque sia, in questo caso, la matrice è comunque diagonalizzabile in quanto $Alg(2)=g(2)=2$[nota]Ammesso che i tuoi calcoli siano giusti[/nota]

"RinOkumura":

Ora come esibisco una base di R3 costituita dagli autovettori di A? Non ho ben capito cosa chiede l'esercizio

Cosa è una base? Cosa sono gli autovettori? Cosa è una base di autovettori?

Serus

13 set 2016, 16:20

una base è un insieme di vettori coi quali, tramite combinazione lineare, si possono ricostruire tutti i vettori dello spazio vettoriale preso in considerazione.
Un autovettore relativo ad un autovalore $ \lambda $ è un vettore v che è soluzione del sistema omogeneo associato $M-\lambdaI$ (su questa definizione non sono sicuro)

quindi una base di autovettore è una base appunto costituita dagli autovettori... quindi basta $B={(-1,1,1),(1,1,0),(0,1,1)}$ in quanto i vettori sono linearmente indipendenti

giusto?

Magma1

13 set 2016, 16:48

"RinOkumura":

Un autovettore relativo ad un autovalore $ \lambda $ è un vettore v che è soluzione del sistema omogeneo associato $M-\lambdaI$

Le soluzioni del $det(M-lambdaI)$ sono gli autovalori!

Un autovettore è un vettore che, tramite una determinata funzione, ha per immagine un suo multiplo:

$f: V->V,$ $ v in V, lambda in RR$

$f(v)->lambda*v$

Gli autovettori, invece, sono le soluzioni di $(M-lambdaI)*((x_1),(vdots),(x_n))=((0),(vdots),(0))$
dove $M, I$ sono matrici $nxxn$

"RinOkumura":

quindi una base di autovettore è una base appunto costituita dagli autovettori... quindi basta $B={(-1,1,1),(1,1,0),(0,1,1)}$ in quanto i vettori sono linearmente indipendenti