Geometria e Algebra Lineare

salve scrivo per risolvere un dubbio di algebra lineare sugli autovalori di una matrice 3x3; il problema è il polinomio caratteristico esempio. 2 1 0 1 3 1 0 1 2 adesso calcolo il determinante della matrice che per definizione è det(A - xI) cioè la matrice A - lambda sulla matrice identità. il risultato è questo: 2-x 1 0 1 3-x 1 0 1 2-x essendo una matrice 3x3 posso utilizzare per calcolare il ...

Non riesco a trovarne una dimostrazione rigorosa. Qualcuno può aiutarmi?

Salve a tutti, sto facendo un esercizio e mi sono imbattuta in una parte che non ho capito bene. Mi si da un'applicazione lineare f:M_2(R)->M_2(R) definita come f(X)=MXB Dove M=\begin{matrix}0& -1\\1& 0\end{matrix} Mentre B è la trasposta di M. Io ho considerato X una matrice di termini generali e facendo i calcoli mi sono trovata f(X)=\begin{matrix}d& -c\\-b& a\end{matrix} Dopo di che ho cercato di trovare la matrice associata al riferimento canonico e per farlo ho trasformato la matrice in ...

Sia data $ f:Mat(2,2)rarr R^2 $ tale che $ f( ( a , b ),( c , d ) ) = (a+d,c-b) $ trovare $ f^-1(4,2) $ io ho imposto il sistema $ { ( a+d=4 ),( c-b=2 ):} $ a questo punto cosa devo fare? devo trovare una soluzione particolare ? ad esempio ponendo a=1 e c=0 ottengo $ ( ( 1 , -2 ),( 0 , 3) ) $

Sia $ varphi:RR^3xRR^3 to RR $ la forma bilineare simmetrica la cui forma quadratica associata è $ Q(vec x)= x_1^2-2x_1x_2+x_2^2+x_3^2 $ . Trovare $ varphi $. Allora ho fatto la matrice $ Q(x): ((1,-1,0),(-1,1,0),(0,0,1)) $ associata alla forma quadratica. Cercando il polinomio caratteristico, da $ (1-t)^3 -1 $ ottengo solo l'autovalore $ t=0 $. Mi sembra strano...

Buongiorno a tutti, volevo chiedervi se riuscite a darmi una mano su questo esercizio. Lo spazio delle soluzioni del seguente sistema lineare è: $ { ( x + y + 2z + t = 0 ),( x+t=0),( -x+2y+4z-t=0 ),( x+y+2z=0 ):} $ [1] $L((0; -2; 1; 0))$ [2] $L((0; -2; 1; 0); (1; 0; 0;-1))$ [3] ${(0; 0; 0; 0)}$ [4] ${(0;-2; 1; 0)}$ Io ho svolto per sostituzione ottenendo come base (0,-2,1,0). Volevo sapere cosa cambia dalla risposta $1$ alla risposta $4$. Grazie a tutti

salve avrei un dubbio, Fissato un riferimento cartesiano sia dato un piano $π : x − y + z = 0$ a) Trovare il piano α parallelo a π e passante per il punto $P(2, −2, 2)$ b)Determinare la sfera tangente al piano α nel punto P e tangente al piano π non ho problemi per il primo punto, ma per il punto b non capisco come muovermi

Buongionro a tutti ho una domanda in cui non sono molto sicuro della risposta. Qualcuno sa aiutarmi? Un sistema lineare con $n-1$ equazioni in $n$ incognite: [1] se è possibile, ha infinite soluzioni [2] è sempre possibile ma ammette una ed una sola soluzione [3] è sempre possibile ed ammette infinite soluzioni [4] è sempre impossibile se non è omogeneo Io risponderei la 1.

Salve, ho un problema con un esercizio che chiede di trovare una base di R3 tale che la matrice della funziona sia $B = ((0,0,1),(0,0,0),(0,0,0))$ . La funzione è definita tale che $f(u) = w$, $f(v) = 2w$ e $Im(f) ⊂ Ker(f)$, dove $u = (1, −1, 0)$,$ v = (0, −2, −1)$, $w = (4, −1, 1)$. Per le prime due colonne non ci sono problemi, in quanto basta scegliere due vettori del nucleo linearmente indipendenti tra loro e ho due vettori della base. Il problema è la terza colonna, se provo a trovare il ...

Buon pomeriggio a tutti! È la prima volta che scrivo su questo forum e spero che mi possiate dare una mano con un quesito sul quale sto sbattendo la testa da quasi 2 ore. Mi viene praticamente data una applicazione lineare da $RR^2$ ad $RR^3$, e mi si chiede di trovare in primo luogo la sua matrice rappresentativa (che chiamerò A) secondo le basi canoniche di $RR^2$ ed $RR^3$ , e poi quella rappresentativa secondo delle generiche basi di vettori (a ...

Ciao a tutti sto cercando un metodo abbastanza veloce per risolvere i problemi in questa forma l'esercizio proposto è il seguente Quale dei seguenti punti dello spazio appartiene al piano con forma parametrica \begin{cases} x=3-2\lambda-\mu\\ y=1+\lambda\\ z=2-\lambda+2\mu \end{cases} ho la scelta dei punti a) $((0,3,-2))$ b) $((-3,3,0))$ c) $((-2,0,-3))$ d) $((3,0,-3))$ la domanda è esiste una formula veloce o bisogna per forza di cose trasformare l'eq parametrica del ...

Ciao! Scrivo per chiedervi di aiutarmi su un punto che non riesco a capire. Ho fatto un esercizio su un sistema lineare con parametro k e sono arrivata al punto in cui la caratteristica è minore del numero delle incognite. Precisamente la caratteristica è 2 e le incognite sono 4. Quindi dovrei portare due colonne delle incognite tra i termini noti, giusto? Ecco la mia domanda è: quando porto le colonne tra i termini noti devo attribuire a una colonna la lettera alfa e all'altra beta? Se ...

Salve ho un dubbio riguardo questo esercizio. determinare f esplicitamente dato: endomorfismo da R3 a R3 tale che $kerf= L((1,1,0),(0,1,1))$ e $v=(1,-1,1)$ sia un autovettore di f relativo all' autovalore 3 Grazie.

Mi si chiede di dare la definizione di applicazione lineare e poi di dire se la seguente applicazione è lineare: $f(1,1)=1$ e $f(2,2)=3$ Per la definizione io credo di aver capito che si definisce applicazione lineare, una volta definiti gli spazzi vettoriali V e W, $f: V rarr W$ se per ogni coppia di vettori v, w che appartengono a V e per ogni $h$ e $k$ che appartengono all'insieme dei numeri reali si ha che $f(hv+kv)=hf(v) + kf(w)$ Inoltre posso ...

Salve, ho appena studiato il complemento ortogonale e andando a fare degli esercizi su questo determinato argomento non riesco a trovare una via d'uscita. Qualcuno riuscirebbe a spiegarmi come si svolge questo esercizio? Fissato in R3 il prodotto scalare standard, determinare la dimensione, una base e una rappresentazione cartesiana per i complementi ortogonali ⊥U e ⊥U′, ove U = L((3, 1, 2),(5, 0, −1)) e U′ = L((1, 2, 3)).

Salve a tutti, sto continuando a fare degli esercizi sugli endomorfismi e mi sono imbattuta in alcuni dove non riesco a trovare la matrice associata. Per esempio in uno mi si da un'applicazione f definita come, f(e1)=(-1,1) ,f(e2)=(2,1) ed e3,e4 ∈ ker(f) Dove e1, e2,e3,e4 sono il riferimento canonico. Il mio problema è che non so come fare a creare una matrice associata sapendo che e3 ed e4 appartengono al nucleo. Spero che voi possiate aiutarmi. Grazie mille

Buongiorno a tutti, avrei un dubbio su un esercizio sulle quadriche. La quadrica di equazione $2x^2 + y^2 + 3z^2 - 4x + 4z + 1 = 0$ ammette come centro: [size=85][1] $C = [3, 3, 0, 2]$ [2] $C = (1, 0,-2/3)$ [3] $C = [3, 3, 0,-1]$ [4] $C = (-1, 0, 2/3)$[/size] Io ho trovato i complementi algebrici della prima riga della matrice della quadrica e ho ottenuto $C=[6,6,0,-4]$. Ora dato che la quadrica non è un paraboloide io ho fatto [size=85]$C=[6/6,0/6,-4/6]$[/size] e la risposta $2$. Secondo voi va ...

Sto cercando di svolgere questo esercizio trovato sul web: Determinare gli autovalori, gli autovettori e gli autospazi della matrice A. E si chiede se è diagonalizzabile. $A = ((1/2,0,1/2),(0,1,0),(1/2,0,1/2))$ Prima cosa ho fatto il determinante di $((1/2 - lambda,0,1/2),(0,1- lambda,0),(1/2,0,1/2- lambda))$ ed ho trovato il polinomio caratteristico $lambda(1-lambda)(lambda-1)$ quindi gli autovalori sono $(0,1)$ con il secondo di molteplicità algrbrica 2. Cerco il primo autospazio $((1/2,0,1/2),(0,1,0),(0,0,0))*((x_1),(x_2),(x_3))=((0),(0),(0))$ quindi ${(x_1 = -t),(x_2 = 0), (x_3 = t):} \rightarrow A_{\lambda_1} = t(-1,0,1)$ e fin qui tutto ok Quando faccio il ...

Ciao, qualcuno riesce a darmi degli imput su come svolgere questo esercizio? Magari il procedimento, per quanto riguarda i calcoli mi arrangio da solo.. Grazie mille in anticipo! Determinare, se esiste, la trasformazione lineare T : R3 → R4 avente nucleo Ker T = L((1, 2, 3),(0, −1, 1)) e tale che T((0, 0,1)) = (−1, 0, 2, 0) Trovare la immagine in T del vettore v = (1, 1, 1).

Ragazzi salve! Non so proprio come svolgere questo esercizio! c'è qualcuno che può aiutarmi?! Sia P il punto di coordinate (1,2,1) e sia $ pi $ il piano di equazione $ 2x-6y+2z-3=0 $. Tra i piani per P e ortogonali a $ pi $ si determini l'equazione del piano $ sigma $ passante per Q(1,2,-1). Dovrei ricavarmi un fascio di piani che passano per P e sono ortogonali a $ pi $ ma mi manca qualcosa! Aiutoooo!!!