Sistema lineare

[Sk_Anonymous]

Buongiorno a tutti, volevo chiedervi se riuscite a darmi una mano su questo esercizio.
Lo spazio delle soluzioni del seguente sistema lineare è:

$ { ( x + y + 2z + t = 0 ),( x+t=0),( -x+2y+4z-t=0 ),( x+y+2z=0 ):} $

[1] $L((0; -2; 1; 0))$
[2] $L((0; -2; 1; 0); (1; 0; 0;-1))$
[3] ${(0; 0; 0; 0)}$
[4] ${(0;-2; 1; 0)}$

Io ho svolto per sostituzione ottenendo come base (0,-2,1,0). Volevo sapere cosa cambia dalla risposta $1$ alla risposta $4$. Grazie a tutti

[feddy]

Con $L(v)$ si intende lo span. Con le graffe solamente il singoletto ${(0,-2,1,0)}$. Se hai trovato una base (non ho verificato i conti), allora la risposta non può che essere la prima... per verificarlo, prendi per esempio un multiplo di $(0,-2,1,0)$ , che sta per definizione nello span, cioè in $L(0,-2,1,0)$. Come vedi è ancora soluzione

[Sk_Anonymous]

"feddy":Con $L(v)$ si intende lo span. Con le graffe solamente il singoletto ${(0,-2,1,0)}$. Se hai trovato una base (non ho verificato i conti), allora la risposta non può che essere la prima... per verificarlo, prendi per esempio un multiplo di $(0,-2,1,0)$ , che sta per definizione nello span, cioè in $L(0,-2,1,0)$. Come vedi è ancora soluzione

Ciao grazie della risposta. La $L$ quindi indica tutti i multipli se ho capito bene ma ha un nome? Cosa sarebbe span?
Comunque apparte facendo la prova per sostituzione, come posso verificare se trovando una base, anche i multipli vanno bene?
Per esempio posso usare rouchè capelli e dire che se:
rango della matrice completa $$=$ $ rango della matrice incompleta = n allora avrò una sola soluzione e cioè le graffe, mentre se rango della matrice completa $$=$ $ rango della matrice incompleta $<$ n avrò la L. ($n$ numero delle incognite)
Giusto?

[feddy]

La tua ultima affermazione è corretta. Se il ranghi sono uguali e pari a $n$, allora avrai una e una sola soluzione, altrimenti otterrai un sottospazio affine.

L non indica solo i multipli, ma anche combinazioni lineari, mi spiego meglio:
$L(v_1,...,v_n)={alpha_1*v_1+...+alpha_n*v_n:alpha_1,...,alpha_n in K}$, dove $K$ indica il campo su cui stai lavorando

Per la definizione di span cerca su internet e trovi tutto. Magari l'hai chiamato copertura lineare, o insieme delle combinazioni lineari possibili, insomma ci sono più nomi però il concetto è quello.

[Sk_Anonymous]

"feddy":La tua ultima affermazione è corretta. Se il ranghi sono uguali e pari a $n$, allora avrai una e una sola soluzione, altrimenti otterrai un sottospazio affine.

L non indica solo i multipli, ma anche combinazioni lineari, mi spiego meglio:
$L(v_1,...,v_n)={alpha_1*v_1+...+alpha_n*v_n:alpha_1,...,alpha_n in K}$, dove $K$ indica il campo su cui stai lavorando

Per la definizione di span cerca su internet e trovi tutto. Magari l'hai chiamato copertura lineare, o insieme delle combinazioni lineari possibili, insomma ci sono più nomi però il concetto è quello.

Ok ci sono, nel mio libro direi sia chiamato chiusura lineare. Ti ringrazio molto

[feddy]

di nulla