Base di una funzione rispetto ad una matrice data

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Salve, ho un problema con un esercizio che chiede di trovare una base di R3 tale che la matrice della funziona sia $B = ((0,0,1),(0,0,0),(0,0,0))$ . La funzione è definita tale che $f(u) = w$, $f(v) = 2w$ e $Im(f) ⊂ Ker(f)$, dove $u = (1, −1, 0)$,$ v = (0, −2, −1)$, $w = (4, −1, 1)$. Per le prime due colonne non ci sono problemi, in quanto basta scegliere due vettori del nucleo linearmente indipendenti tra loro e ho due vettori della base. Il problema è la terza colonna, se provo a trovare il vettore la cui immagine è $(1,0,0)$ usando la matrice in base canonica della funzione, richiesta nel punto precedente a questo, ottengo un sistema impossibile. La matrice in base canonica della funzione dovrebbe essere $A=((-4,-8,8),(1,2,-2),(-1,-2,2))$, mentre quella rispetto alle basi date dovrebbe essere $((4,8,0),(-1,-2,0),(1,2,0))$. Il problema chiede anche di trovare una matrice S tale che $A=S*B*S^-1$. La matrice S dovrebbe essere quella degli autovettori, ma la matrice A non è diagonale, quindi non saprei in che altro modo risolverlo

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