Geometria e Algebra Lineare

Ho la seguente forma quadratica di cui devo studiarne il segno: $Q(x,y,z)=4xy+4xz+2y^2+2z^2$. La matrice associata alla forma quadratica è $A=[ ( 0 , 2 , 2 ),( 2 , 2 , 0 ),( 2 , 0 , 2 ) ] $ Se applico Sylvester ottengo $A1=0$, $A2=-4<0$, $A3=-16<0$, quindi semidefinita negativa. Se applico Debreu ottengo dalla matrice $A-lambdaI= [ ( -lambda , 2 , 2 ),( 2 , 2-lambda , 0 ),( 2 , 0 , 2-lambda ) ] $ gli autovalori $lambda1=2$, $lambda2=4$, $lambda3=-2$, quindi indefinita. Come è possibile? Non credo ci siano errori.

Sia $R_lambda={vec(v)inV:existsdgeq1 t.c. (A-kI)^d(vec(v))=0}$ Come la trovo una sua base

Salve sono alle prese con un esercizio svolto riguardante le applicazioni lineari indotte : Sia A = [(1,1,2), ( 1,0,1), (0,1,2)] una Base di $RR^3$ e sia $f : RR^3 \to RR^3 $ L'endomorfismo la cui matrice associata rispetto alla base A è la seguente_ $((2,2,-4),(2,-1,4),(1,-1,0))$ Dato $ V = {(x,y,z) in RR^3 | x-z=0} $ , dire se f|v induce un endomorfismo $g: V \to V $ Soluzione: $V= {(x,y,z) in RR^3 } = \mathcal{L} ((1,0,1) (0,1,0)) $ e dunque $f(V) = \mathcal{L} (f(1,0,1) f(0,1,0)) $ Dato che abbiamo $M^A (f) $, calcoliamo le componenti del generico ...

ciao ragazzi come faccio ad ottenere il polinomio caratteristico da una matrice es. se io ho questa matrice 2 - k 3 4 1 1-k 2 1 1 4-k come faccio ad ottenere un polinomio caratteristico, secondo la teoria che ho studiato posso ottenerlo attraverso il calcolo del determinante di una matrice, questa è una matrice di ordine tre quindi posso calcolarlo con la regola di sarrus oppure Laplace, Laplace secondo me è conveniente quando ci sono ...

come faccio a dire che una funzione è suriettiva con un'applicazione lineare in R x R --> R ??

Determina l'equazione del cono con vertice $V=(0,0,2)$ e passante per la circonferenza di equazioni ${ ( x^2+y^2=1 ),( z=0 ):}$. Io ho pensato di trovare l'equazione di una sfera con centro in V e passante per un generico punto della circonferenza e metterla a sistema con l'equazione del piano passante per 3 punti che ricavo dalla circonferenza. La soluzione dell'esercizio però è molto più sbrigativa e imposta un sistema del tipo ${ ( a^2+b^2-1=0 ),( x=ta),( y=tb ),( z=2-2t-tc ),( c=0 ):}$ con (a,b,c) punto generico della circonferenza ...

-Determinare l’equazione dell’ellisse avente fuochi in F1(0 ; 0) e F2(3 ; 3) e passante per P(3 ; 4). Purtroppo non so assolutamente come muovermi, dato che il nostro professore non ci ha spiegato molto riguardo ellissi ruotate...

Salve ragazzi ho avuto ieri il compito di algebra lineare è andato piuttosto bene tranne una domanda,"Dare la definizione di prodotto scalare astratto e fare un esempio " non ho saputo rispondere praticamente solo a quella e quando sono tornato a casa anche ricercando tra gli appunti non ho trovato niente a riguardo.......buio totale....qualcuno può illuminarmi? xD

È vero che se due vettori diversi dal vettore nullo sono dipendenti, allora non sono mai ortogonali? Oppure semplicemente è vero che potrebbero non essere tali?

Sia U il sottospazio di R3 costituito dai vettori (x1, x2, x3) tali che 2x1 + x2 = 0. Si determini una base ortonormale di U rispetto al prodotto scalare ordinario di R3. Io sinceramente non so nemmeno come cominciare

Ciao a tutti ragazzi e come sempre grazie a chi mi potrà aiutare nella risoluzione di questo problema. Dunque solitamente ho sempre trovato dei problemi di questo tipo che come dati iniziali avessero la retta in forma parametrica o cartesiana e un Punto la risoluzione risultava quindi abbastanza semplice prendiamo il nostro vettore della direzione di r e lo sostituiamo banalmente al vettore dei parametri direttori di un generico piano e poi ne imponiamo il passaggio per il Punto P indicato ...

Salve a tutti, di recente mi sono trovato davanti al seguente esercizio: dato il sistema: $ { ( x=1/2+3/2t ),( y=-3/4-t ),( z=1+2t ):} $ passare da rappresentazione parametrica a cartesiana e viceversa. io ho tentato come segue: ricavando t dalla prima equazione mi è uscito quanto segue: $ { ( y+2/3x=-5/12 ),( z+4/3x=0 ):} $ come rappresentazione cartesiana. Ponendo $ x=t, tin mathbb(R) $ ho ottenuto quanto segue come rappresentazione parametrica: $ { ( x=t ),( y=-2/3t-5/12 ),( z=-4/3t ):} $ Tuttavia il testo dava risultato differente ma, sapendo che sia solo una ...

We Avevo una domanda su questo fatto: Poniamo $f:V->W$ Con fissate basi $B_v={v_1,...,v_n},B_w={w_1,...,w_m}$ sappiamo che $<f(v_1),...,f(v_n)> =Im(f)$ Ora... $f(v_j)=a_(j1)w_1+...+a_(jm)w_m,1leqjleqn$ Ora il quesito nasce qui: Scrivo il vettore colonna delle coordinate rispetto alla base $B_w$ che sarà quindi $a_(j1)w_1+...+a_(jm)w_m=((a_(j1)),( : ),(a_(jm)))$ Questa colonna ovviamente al variare di $j$ apparterrà alla matrice associata a $f$ Possiamo dire che $<f(v_1),...,f(v_n)> = < A^1,...,A^n>$ Dunque una qualsiasi combinazione lineare ...

ciao Ragazzi come faccio a capire se una funzione e commutativa, associativa, surriettiva la traccia è questa sia Data la funzione y : {RXR --> R {(x,y) --> 1-x^2 + y^ 2 rispondere alla seguenti domande motivando la risposta: 1)VISTO COME APPLICAZIONE, LA Y E' SURRIETTIVA? 2)VISTO COME OPERAZIONE BINARIA, LA Y E' COMMUTATIVA? 3)VISTO COME OPERAZIONE BINARIA , LA Y E' ASSOCIATIVA?

Data una matrice mi si dice di trovare gli autovalori, quindi imposto la matrice $[ ( (-3-x) , 1 , -1 ),( -7 , (5-x) , -1 ),( -6 , 6 , (-2-x) ) ] $ e ne calcolo il determinante, ma sviluppandolo attraverso la prima colonna arrivo a $(-3-x)(x-5)(x+2)+(4-x)=0$ e non so più come procedere, nella soluzione del libro il determinante viene sviluppato secondo la prima riga, io mi chiedo se ho sbagliato qualcosa io o se effettivamente a volte sia necessario beccare la riga o colonna giusta per poter portare a termine l'esercizio...

Data la matrice $[ ( 1 , 1 , 0 ),( 0 , k , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ] $ devo discuterne la diagonalizzabiltà al variare di $k$, dunque ho trovato il polinomio caratteristico $(1-x)(k-x)(1-x)$, capisco subito che l'autovalore $1$ ha molteplicità algebrica 2, verifico la molteplicità geometrica e mi risulta 2 pure quella. A questo punto perché la soluzione sul libro salta direttamente alla conclusione che la matrice è diagonalizzabile per $k$ diverso da $1$ dicendo che avrebbe ...

Salve a tutti. Avevo il seguente esercizio da risolvere sia $A$ una matrice tale che $A^2=0$. Dimostrare che $I-A$ ha la matrice inversa. Guardando sul forum ho trovato un esercizio simile svolto e ho capito come risolverlo. Però avevo provato a risolverlo nel seguente modo: $B=(I-A)^-1$ quindi $(I-A)B=I$ moltiplico i due termini per A e ottengo $AB-A^2B=A$ dato che $A^2=0$ allora $AB=A$ quindi ...

Salve a tutti. Ho problemi con la risoluzione di un sistema lineare. Praticamente ho un sistema lineare e mi viene chiesto di studiarlo al variare dei parametri reali a e b. Le equazioni componenti il sistema sono: $\{(x+y-2z= 1),(3x+y+z = 0),(2x + ay +3z=b):}$ Viene chiesto poi, nel caso il sistema ammetta soluzioni, se l'insieme delle soluzioni costituisce un sottospazio di R^3. Io avevo cominciato prendendo la matrice A e calcolandone il determinante vedendo che il determinate veniva -7a e che quindi si annullava in ...

Buon pomeriggio a tutti. Ho un forte dubbio sulla riduzione di Gauss. Ho questa matrice :$ ( ( 1 , -3, 1 , 1 ),( -3 , 1 , k , -3 ),( 3, k, 1 , 3 ) ) $ . (R e R' sono righe) Ora, in ho capito che cambiando una riga addizionando la stessa riga più un'altra non cambia niente secondo questa formula:$alpha*R + beta*R' $ con $alpha!=0$ e $beta !in R$. Quindi io faccio la prima moltiplicata 3 meno la seconda e la terza. Questo passaggio va bene? E poi se facessi la seconda più la terza va bene? Sempre come primo passaggio. Un'altra ...

Buonasera a tutti, qualcuno sa spiegarmi come si fanno questo tipo di esercizi? So che mi servono 5 informazioni per costruire una conica. Ho letto e riletto il capito sui fasci di coniche di primo, secondo e terzo tipo. Ma non riesco ad applicarlo su questo tipo di eserzio. [size=150][/size]