Definizione di applicazione lineare e relativo esercizio
Mi si chiede di dare la definizione di applicazione lineare e poi di dire se la seguente applicazione è lineare: $f(1,1)=1$ e $f(2,2)=3$
Per la definizione io credo di aver capito che si definisce applicazione lineare, una volta definiti gli spazzi vettoriali V e W, $f: V rarr W$ se per ogni coppia di vettori v, w che appartengono a V e per ogni $h$ e $k$ che appartengono all'insieme dei numeri reali si ha che
$f(hv+kv)=hf(v) + kf(w)$
Inoltre posso anche dire che se è un'applicazione lineare allora $f(0)=0$
Ecco ammesso e concesso che sia giusto non so poi che fare con l'esercizio.
Per la definizione io credo di aver capito che si definisce applicazione lineare, una volta definiti gli spazzi vettoriali V e W, $f: V rarr W$ se per ogni coppia di vettori v, w che appartengono a V e per ogni $h$ e $k$ che appartengono all'insieme dei numeri reali si ha che
$f(hv+kv)=hf(v) + kf(w)$
Inoltre posso anche dire che se è un'applicazione lineare allora $f(0)=0$
Ecco ammesso e concesso che sia giusto non so poi che fare con l'esercizio.
Risposte
La definizione è sostanzialmente corretta.
Come hai scritto, se è una applicazione lineare deve succedere che $3=f(2,2)=2*f(1,1)$, come hai scritto nella tua definizione. Ti sembra che questo accada?
Come hai scritto, se è una applicazione lineare deve succedere che $3=f(2,2)=2*f(1,1)$, come hai scritto nella tua definizione. Ti sembra che questo accada?
Non ci arrivo evidentemente non ho compresoa pieno la definizione.. purtroppo.
Se è un'applicazione lineare, allora $alpha f(v)=f(alpha*v)$, dove $alpha$ è uno scalare, a.k.a "numero".
La definizione ti dice che se moltiplichi, per esempio, per $2$ l'immagine di $v$ tramite $f$, questo è equivalente a trovare l'immagine tramite $f$ del vettore $2*v$.
Nel tuo caso questo non accade. Quindi l'applicazione non è lineare
La definizione ti dice che se moltiplichi, per esempio, per $2$ l'immagine di $v$ tramite $f$, questo è equivalente a trovare l'immagine tramite $f$ del vettore $2*v$.
Nel tuo caso questo non accade. Quindi l'applicazione non è lineare
Ti ringrazio ma c'è qualcosa che non capisco e non so nemmeno io cosa. Magari un esempio simile ma che si tratti invece di applicazione lineare potrebbe aiutarmi a capire, me lo puoi fare per favore?
Probabilmente ti conviene studiare con un po' più di attenzione, non c'è nulla di difficile.
Prova tu con questa applicazione
$f: RR^2 rightarrow RR^2$, $f(x,y)=(x+y,x)$
1. Verifica che è lineare (sai farlo, basta usare la def.).
$f(1,1)=(2,1)$. Ho usato la definzione di $f$.
Ora, è vero che se moltiplico $(1,1)$ per $2$ e faccio $f(2*(1,1))$ ottengo la stessa cosa che $f(2,2)$?
Sì. $f(2,2)=(4,2)$ e $2*f(1,1)=2*(2,1)=(4,2)$.
Più di questo non saprei che fare per spiegartelo
Prova tu con questa applicazione
$f: RR^2 rightarrow RR^2$, $f(x,y)=(x+y,x)$
1. Verifica che è lineare (sai farlo, basta usare la def.).
$f(1,1)=(2,1)$. Ho usato la definzione di $f$.
Ora, è vero che se moltiplico $(1,1)$ per $2$ e faccio $f(2*(1,1))$ ottengo la stessa cosa che $f(2,2)$?
Sì. $f(2,2)=(4,2)$ e $2*f(1,1)=2*(2,1)=(4,2)$.
Più di questo non saprei che fare per spiegartelo
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