Centro di una quadrica
Buongiorno a tutti, avrei un dubbio su un esercizio sulle quadriche.
La quadrica di equazione $2x^2 + y^2 + 3z^2 - 4x + 4z + 1 = 0$ ammette come centro:
[size=85][1] $C = [3, 3, 0, 2]$
[2] $C = (1, 0,-2/3)$
[3] $C = [3, 3, 0,-1]$
[4] $C = (-1, 0, 2/3)$[/size]
Io ho trovato i complementi algebrici della prima riga della matrice della quadrica e ho ottenuto $C=[6,6,0,-4]$. Ora dato che la quadrica non è un paraboloide io ho fatto [size=85]$C=[6/6,0/6,-4/6]$[/size] e la risposta $2$. Secondo voi va bene o ho sbagliato il segno del $-4$ e la risposta è la $1$?
Grazie a tutti dell'aiuto
[size=85]
La quadrica di equazione $2x^2 + y^2 + 3z^2 - 4x + 4z + 1 = 0$ ammette come centro:
[size=85][1] $C = [3, 3, 0, 2]$
[2] $C = (1, 0,-2/3)$
[3] $C = [3, 3, 0,-1]$
[4] $C = (-1, 0, 2/3)$[/size]
Io ho trovato i complementi algebrici della prima riga della matrice della quadrica e ho ottenuto $C=[6,6,0,-4]$. Ora dato che la quadrica non è un paraboloide io ho fatto [size=85]$C=[6/6,0/6,-4/6]$[/size] e la risposta $2$. Secondo voi va bene o ho sbagliato il segno del $-4$ e la risposta è la $1$?
Grazie a tutti dell'aiuto
[size=85]
Risposte
L'ho risolto con un semplice completamento dei quadrati e ottengo la risposta 2.
"@melia":
L'ho risolto con un semplice completamento dei quadrati e ottengo la risposta 2.
Ciao Melia, intanto grazie dell'aiuto.anche a me viene la risposta due ma con un altro metodo. Mi puoi spiegare che metodo hai usato? O almeno il nome che me lo provo a guardare?
Se si conoscono le derivate parziali di un polinomio ( in più variabili) si può anche risolvere la cosa eguagliando a zero
le derivate parziali ( rispetto alle variabili x,y,z) del primo membro dell'equazione della quadrica.
Nel nostro caso si ottiene il sistema:
$4x-4=0;2y=0;6z+4=0$
da cui appunto la soluzione : $x=1,y=0,z=-2/3$
le derivate parziali ( rispetto alle variabili x,y,z) del primo membro dell'equazione della quadrica.
Nel nostro caso si ottiene il sistema:
$4x-4=0;2y=0;6z+4=0$
da cui appunto la soluzione : $x=1,y=0,z=-2/3$
"sandroroma":
Se si conoscono le derivate parziali di un polinomio ( in più variabili) si può anche risolvere la cosa eguagliando a zero
le derivate parziali ( rispetto alle variabili x,y,z) del primo membro dell'equazione della quadrica.
Nel nostro caso si ottiene il sistema:
$4x-4=0;2y=0;6z+4=0$
da cui appunto la soluzione : $x=1,y=0,z=-2/3$
Ciao sandroroma, grazie della risposta anche a te. Si comunque le derivate parziali le conosco dato che ho dato da poco analisi 2. Non capisco peró che senso abbia il metodo risolutivo che ho io sul libro, dato che è molto più lungo. In ogni caso vi ringrazio
$ 2x^2 + y^2 + 3z^2 - 4x + 4z + 1 = 0 $ aggiungo e contemporaneamente tolgo i termini che mi permettono di individuare i quadrati
$ 2x^2 - 4x +2+ y^2 + 3z^2 + 4z +4/3-2-4/3+ 1 = 0 $
$ 2(x^2 - 2x +1)+ y^2 + 3(z^2 + 4/3z +4/9)-7/3 = 0 $
$2(x-1)^2+(y-0)^2+3(z+2/3)^2=7/3$
$C(1, 0, -2/3)$ perchè l'equazione generale è $a(x-x_c)^2+b(y-y_c)^2+c(z-z_c)^2=k$
NB questo metodo funzione SOLO se non ci sono termini misti in $xy$, $yz$ o $xz$, perché è una semplice traslazione.
(Roba da scuola secondaria)
$ 2x^2 - 4x +2+ y^2 + 3z^2 + 4z +4/3-2-4/3+ 1 = 0 $
$ 2(x^2 - 2x +1)+ y^2 + 3(z^2 + 4/3z +4/9)-7/3 = 0 $
$2(x-1)^2+(y-0)^2+3(z+2/3)^2=7/3$
$C(1, 0, -2/3)$ perchè l'equazione generale è $a(x-x_c)^2+b(y-y_c)^2+c(z-z_c)^2=k$
NB questo metodo funzione SOLO se non ci sono termini misti in $xy$, $yz$ o $xz$, perché è una semplice traslazione.
(Roba da scuola secondaria)
"@melia":
$ 2x^2 + y^2 + 3z^2 - 4x + 4z + 1 = 0 $ aggiungo e contemporaneamente tolgo i termini che mi permettono di individuare i quadrati
$ 2x^2 - 4x +2+ y^2 + 3z^2 + 4z +4/3-2-4/3+ 1 = 0 $
$ 2(x^2 - 2x +1)+ y^2 + 3(z^2 + 4/3z +4/9)-7/3 = 0 $
$2(x-1)^2+(y-0)^2+3(z+2/3)^2=7/3$
$C(1, 0, -2/3)$ perchè l'equazione generale è $a(x-x_c)^2+b(y-y_c)^2+c(z-z_c)^2=k$
NB questo metodo funzione SOLO se non ci sono termini misti in $xy$, $yz$ o $xz$, perché è una semplice traslazione.
(Roba da scuola secondaria)
Ah ecco come mai sul libro non ho questo metodo, in ogni caso torna comodo in questi casi, grazie mille
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