Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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data la retta r:{x+y-z+1=0 determinare un punto A appartenente ad r e un punto B non appartenente ad r.
{2x+y-3z+2=0
ho ragionato risolvendo le due equazioni:
x=2z-1
y=z-1
un'idea per procedere è sostituire un numero arbitrario con la z ma non saprei vedere se appartiene o meno o comunque quando non appartiene alla retta.
salve sto svolgendo un esercizio sulle applicazioni lineari ;
solitamente c'è la richiesta di scrivere o l'equazione cartesiana per l'immagine o una base di essa ;
L'esercizio presenta l'applicazione lineare definita dalla matrice associata
$((2,-1,0),(1,0,-1),(0,-1,2))$
ridotta a $((2,-1,0),(1,0,-1),(0,0,0))$
dunque, $ dim im(f) = \rho (M^(A) (f)) = 2 \Rightarrow im f = \mathcal{L} ( (2,1,0)_(A) (-1,0,-1)_(A) )=$
$ \mathcal{L} (2v1 + v1 , -v1 -v3) = \mathcal{L} ((2,1,1) ( -2,1,0)) $
Tutto chiaro fino a quando scrive
$ \mathcal{L} ((2,1,1) ( -2,1,0)) $
cosa si è fatto e cosa si è ottenuto ?
grazie per gli eventuali chiarimenti
Sia V= Span(1,0,1) Compreso in R^3. Sia W un sottozospazio vettoriale=Span (-7,5,1) e una Base di W=(-7,5,1) , dim W= 1
Si dica se la somma W+V è diretta:
Volevo chiedere se potevo fare questo passaggio V+W= Span {(1,0,1) ...
Salve
ho un piccolo dubbio sulla riduzione Gaussiana di questa semplice matrice ;
$((2,-1,0),(1,0,-1),(0,-1,2))$
Ho visto che la matrice dovrebbe ridursi in
$((2,-1,0),(1,0,-1),(0,0,0))$
ma non ho capito se è lecito sommare alla terza riga , la "speculare" di segno opposto della prima riga , ovvero (0,-1,-2)
(0,1,-2) + (0,-1,-2) = ( 0,0,0)
grazie
Ciao ragazzi, ho bisogno di una mano con la dimostrazione del principio degli Orlati. Non riesco più a capire la dimostrazione del mio prof., credevo di averla compresa ma invece mi sfugge un passaggio. Mi riferisco all'implicazione secondo cui se esiste un minore M non nullo di ordine k i cui orlati sono tutti nulli, allora la matrice data A ha rango k.
Consideriamo una matrice A di ordine $[m,n] $ e un minore M non nullo di ordine $k$. Sappiamo quindi che le k righe e ...
Buongiorno a tutti,
ho svolto un esercizio che comprende diversi concetti su spazi vettoriali ed applicazioni lineari. Siccome è privo di soluzione ed è un po' atipico rispetto agli esercizi che mi danno da fare di solito, mi chiedevo se qualcuno di voi avesse la pazienza di verificare se i miei passaggi concettuali sono corretti. Ringrazio anticipatamente!
Testo
Siano $V\subset \mathbb{R}^3$ il sottospazio vettoriale generato dalla coppia di vettori $\{(1,1,0),(0,2,0)\}$ e $W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|x-y=0\}$.
1) ...
Sia AX = B un sistema lineare di m equazioni in n incognite. Provare o confutare
(con controesempio) ciascuna delle seguenti a ffermazioni:
(a) se B = 0 il sistema ha almeno una soluzione;
(b) se n = m il sistema ha almeno una soluzione;
(c) se il sistema ha una sola soluzione allora m = n;
(d) se n < m il sistema non ha soluzione;
Mi sembrano tutti veri se considero le m equazioni come linearmente indipendenti, giusto?
b,c,d devo spiegarle con Rouché-Capelli?
salve mi servirebbe una mano con questo esercizio
Fissato nello spazio ordinario un sistema di riferimento
cartesiano, si consideri il piano $α : x + y + z − 2 = 0$ e la curva:
${ x = cos^2t$
${y = sin2t + sin^2t $
${z = (cost − sin t)^2$
con $t∈ (−π, π)$
(a)Stabilire se $C ⊂ α$
(b) Determinare la retta tangente r alla curva nel punto $P(1, 0, 1)$.
(c) Stabilire la mutua posizione tra α ed r.
Ps:la curva è scritta in forma paramentrica, non sono riuscito a fare la ...
Salve,
come da titolo, vorrei chiedervi aiuto. Il nostro professore ci ha detto di cercare sul testo la dimostrazione di:
Il determinante di una matrice quadrata è nullo se e solo se i vettori che sono le sue colonne sono linearmente dipendenti.
Un'implicazione mi è ovvia (ossia il: se i vettori colonna di A sono linearmente dipendenti, allora Det(A) = 0), ma l'altra mi risulta impossibile da dimostrare da solo, e purtroppo sul testo non c'è. Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi come si ...
Ciao!
Volevo sapere se tale definizione di curva ellittica fosse corretta oppure no
Sia $K$ un campo. Una curva ellittica $E$ su $K$ è una cubica non singolare definita nel piano proiettivo $P^2(K)$ dall'equazione della forma
$Y^2Z + a_1XYZ+a_3YZ^2=X^3+a_2X^2Y+a_4XZ^2+a_6Z^3$
Buongiorno,
spero che qualcuno sappia risolvere questo dubbio che mi perseguita da mesi.
Per calcolare la dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo, è possibile fare la semplice operazione :
dimS= (n. incognite) - (rango della matrice associata). Dove con numero incognite si può intendere anche il numero di colonne della matrice, e qui ci sono.
Ora, questa operazione è utilizzabile anche per sistemi non omogenei o per essi non è possibile e l'unica cosa da fare è ...
Non riesco a capire come risolvere questo problema, qualcuno sa farlo?
Date le seguenti trasformazioni lineari, determinare, al variare del parametro λ ∈ R, la dimensione del nucleo e dell’immagine:
fλ : R3 → R4, fλ(x, y, z) = (x − y + (1 − λ)z, λx + 2y + λz, 2x, λy + 2z)
gλ : R4 → R3, gλ(x, y, z, t) = (λx, y − t, 2x + λz)
Ciao a tutti, ho un problema con la dimostrazione del teorema spettrale.
Vi espongo cosa ho negli appunti.
Enunciato: Sia $V$ uno spazio vettoriale reale metrico, $T:Vrarr V$ un endomorfismo lineare. Esiste una base ortonormale di V composta da autovettori di T $hArr$ T è simmetrico.
Dimostrazione:
1. $rarr$) Se esiste una base ortonormale di V composta da autovettori di T allora la matrice associata a T è diagonale e dunque simmetrica, quindi ...
Salve a tutti,
ho un dubbio che è spuntato da un esercizio.
In questo esercizio ho una funzione lineare definita come
$ T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1+2x_2+x_3-x_4,x_2+x_4,-x_1+2x_3+x_4,x_3) $
Devo calcolare $ M_B(T) $ rispetto alla base
$ B={(1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)} $
Devo evidentemente utilizzare la formula
$ M_B(T)=M_C^BM_C(T)M_B^C $
Il primo passo è calcolarmi $ M_C(T) $ che è praticamente immediato
$ M_C(T)=[ ( 1 , 2 , 1 , -1 ),( 0 , 1 , 0 , 1 ),( -1 , 0 , 2 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ) ] $
Poi io calcolerei $ M_B^C $ , quindi calcolerei le immagini della base B e le impilerei nelle colonne della matrice, ...
Ciao a tutti,esiste un metodo per calcolare quanti minori ha una matrice?
per esempio:
Data una matrice A con m=5 righe ed n=3 colonne quanti minore ha?
Buongiorno a tutti, non riesco a risolvere questo problema:
Sia L:R^3-->R^3 l'applicazione lineare definita dalla seguente matrice:
$M_B^C (L)=$$((4,0,0),(3,2,0),(0,0,1))$
ove C indica la base canonica e $B= {(0,2,1),(1,0,1),(4,2,0)}$. Determinare $M_B^B (L)$
Grazie.
Salve a tutti, ho iniziato a fare un esercizio di cui non ho i risultati e vorrei sapere se è svolto bene in quanto mi trovo, in alcuni punti risultati un po' "strani".
Allora mi si da l'endomorfismo F definito come:
F(e1)=ke1+(k-1)e2+e3
F(e2)= (k-1)e1+ke2
F(e3)=e1+ke3
E mi si chiede
1) di trovare una base per il ker(F) al variare di k
2) studiare la diagonalizzabilità
1) per prima cosa ho trovato la matrice associata
A=\begin{matrix}k& k-1&1\\ k-1& k&0\\1&0&k\end{matrix}
E ho trovato le ...
Salve,
Ho il seguente esercizio:
Descrivere la topologia indotta dalla relazione di equivalenza su $X=(R^3,tau)$ (topologia euclidea) che identifica come unico punto, tutti i punti di $A$
$A={(x,y,z) in R^3| y=0}$
Considero la proiezione
$pi:R^3->R^3/~ $
$pi(x)=[x]$
Sia $T$ la topologia quoziente, allora $B in T$ se e solo se $p^-1(B)$ è aperto in $X$
Chiamo $[m]$ la classe di ...
Vorrei un confronto sugli esercizi pag. 29,30 e 31 del libro di algebra lineare di Lang.
[xdom="vict85"]Non mettere il link a libri protetti dal diritto d'autore. E comunque è sempre meglio scrivere il problema direttamente.[/xdom]
Buonasera a tutti,
vorrei sottoporre alla vostra attenzione questo esercizio che, pur essendo probabilmente alquanto banale, ho difficoltà a risolvere.
Testo
Trovare la matrice $M_f^{\mathcal{K}}$ associata ad un endomorfismo $f:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3$ che abbia come nucleo la retta $x-4y=z=0$.
Ragionamento
Una matrice $A\in\mathbb{R}^{m,n}$ definisce una trasformazione lineare $f:\mathbb{R^n}\rightarrow\mathbb{R}^m$ considerando elementi di $\mathbb{R}^n$ come vettori colonna e imponendo che ...
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