Esercizio sulle trasformazioni linerari!

[stagnomaur]

Ciao, qualcuno riesce a darmi degli imput su come svolgere questo esercizio? Magari il procedimento, per quanto riguarda i calcoli mi arrangio da solo.. Grazie mille in anticipo!

Determinare, se esiste, la trasformazione lineare T : R3 → R4
avente nucleo Ker T = L((1, 2, 3),(0, −1, 1)) e tale che T((0, 0,1)) = (−1, 0, 2, 0)
Trovare la immagine in T del vettore v = (1, 1, 1).

[Magma1]

"Matte":

Determinare, se esiste, la trasformazione lineare $T : RR^3 → RR^4$
avente nucleo $Ker(T)= L{((1), (2), (3)),((0),( −1), (1))}$ e tale che $T((0),( 0),(1)) = ((−1),( 0), (2),( 0))$

qualcuno riesce a darmi degli imput su come svolgere questo esercizio? Magari il procedimento, per quanto riguarda i calcoli mi arrangio da solo...

Devi sfruttare il teorema di estensione:

$V, W$ spa. vett., ${v_1, ..., v_n}$ base di $V$,
$w_1, ..., w_2 in W$ qualsiasi.

Allora $EE ! f: V -> W \text{ lineare }$ tale che

$f(v_1)=w_1, f(v_2)=w_2), ..., f(v_n)=w_n$

[stagnomaur]

@Magma io trovo molta difficoltà a impostarlo dal punto di vista pratico. Per capire questi tipi di problemi, avrei proprio bisogno dell'impostazione con le matrici e cosa devo fare, cioè una piccola discussione a fianco. Per quanto riguarda i calcoli del problema in sè, mi arrangio da solo..

[Magma1]

Allora, intanto l'ipotesi che $RR^3, RR^4$ siano spazi vettoriale direi che è ovvia; ora serve trovare una base del dominio $RR^3$

[stagnomaur]

okay, ma per trovare una base bisogna che sia un sistema di generatori linearmente indipendente, ma come si fa?

[Magma1]

Accorre in tuo aiuto il teorema di Steinitz

Sia $V$ spazio vettoriale, e siano ${v_1, ..., v_r}$ generatori di $V$, $u_1, ..., u_s in V$ l.i.

Allora $s<=r$

Uno dei corollari del teorema afferma che

Sia $V$ spazio vettoriale, $dim(V)=n>0$, siano $v_1, ..., v_n$ l.i.

Allora $v_1, ..., v_n$ costituiscono una base di $V$

Quindi... ?

[stagnomaur]

Io non capisco che collegamento c'è tra i dati forniti dal problema e quest'ultimo corollario che mi hai esposto. Ogni sottoinsieme linearmente indipendente di V ha cardinalità h < n ed è una base di V se e solo se h = n. Ma poi??
io vedo soltanto concetti teorici, non riesco a capire come faccio a ricavarci qualcosa di concreto, di pratico per risolvere il problema partendo da questi enunciati teorici.

[Magma1]

Allora siamo partiti con l'intenzione di sfruttare il teorema di estensioni, però per poterlo applicare dobbiamo vedere se siano verificate le ipotesi:

1) Il dominio sia uno spazio vettoriale
2) Occorre una base di tale dominio

Essendo $RR^3$ il dominio, possiamo dire che la prima ipotesi sia verificata.

Per il punto due possiamo sfruttare il corollario discendente dal lemma di Steinitz: il quale afferma che, essendo $dim(RR^3)=3$, occorrono tre vettori l.i. per avere una base; i vettori dati:

$((1),(2),(3)), ((0),(-1),(1)), ((0),(0),(1))$

sono l.i.?

[stagnomaur]

Attraverso la definizione di lineare indipendenza ho appena verificato che i 3 vettori sono linearmente indipendenti. Ora che ho ottenuto la base come riesco a ricollegarmi a quello che devo cercare nell'esercizio?

[sandroroma]

Poniamo:
\(\displaystyle \left(\begin{matrix}x \\ y \\z\end{matrix}\right) = a\left(\begin{matrix}1 \\ 2 \\3\end{matrix}\right)+ b\left(\begin{matrix}0 \\ -1\\1\end{matrix}\right)+ c\left(\begin{matrix}0 \\ 0 \\1\end{matrix}\right)\)
con $a,b,c$ coefficienti da calcolare. Effettuando i relativi conti si trova che :
\(\displaystyle \left(\begin{matrix}x \\ y \\z\end{matrix}\right) = x\left(\begin{matrix}1 \\ 2 \\3\end{matrix}\right)+ (2x-y)\left(\begin{matrix}0 \\ -1\\1\end{matrix}\right)+ (-5x+y+z)\left(\begin{matrix}0 \\ 0 \\1\end{matrix}\right)\)
Passando ora alle immagini risulta quanto segue:
\(\displaystyle T\left(\begin{matrix}x \\ y \\z\end{matrix}\right) = x\left(\begin{matrix}0 \\ 0 \\0\\0\end{matrix}\right)+ (2x-y)\left(\begin{matrix}0 \\ 0\\0\\0\end{matrix}\right)+ (-5x+y+z)\left(\begin{matrix}-1 \\ 0 \\2\\0\end{matrix}\right)\)
Pertanto abbiamo che:
\(\displaystyle T\left(\begin{matrix}x \\ y \\z\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}5x-y-z \\ 0 \\-10x+2y+2z\\0\end{matrix}\right)\)
Adesso è facile calcolare l'immagine del vettore \(\displaystyle \left(\begin{matrix}1 \\ 1 \\1\end{matrix}\right)\)
N.B. Si sarebbe potuto calcolare l'immagine richiesta esprimendo il vettore (1,1,1)^t in funzione di quelli dati e poi passare alle immagini. Viceversa la soluzione anzidetta è più generale e permette di calcolare l'immagine di qualsivoglia altro vettore.

[Magma1]

"Matte":Attraverso la definizione di lineare indipendenza ho appena verificato che i 3 vettori sono linearmente indipendenti. Ora che ho ottenuto la base come riesco a ricollegarmi a quello che devo cercare nell'esercizio?

Ora che hai la base, il teorema di estensione ti garantisce che esiste un'unica funzione lineare

$T: RR^3 -> RR^4$ tale che

$ T((1), (2), (3))=((0),( 0),(0),(0))$

$T((0),( −1), (1))=((0),( 0),(0),(0)) $

$ T((0),( 0),(1)) = ((−1),( 0), (2),( 0)) $

E quindi $((1),(1),(1))$, lo puoi calcolare sfruttando la definizione di linearità, poiché

$((1),(1),(1))=((1), (2), (3))+((0),( −1), (1))-3((0),( 0),(1))$

Applicando la funzione $T$ e la linearità

$T((1),(1),(1))=T((1), (2), (3))+T((0),( −1), (1))-3T((0),( 0),(1))$

$=((0),( 0),(0),(0))+((0),(0),( 0),(0))-3 ((−1),( 0), (2),( 0))=((3),( 0), (-6),( 0))$

[stagnomaur]

Grazie mille @sandroroma per il tuo prezioso aiuto, adesso ho perfettamente capito tutto!