Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti.
volevo avere dei chiarimenti sulla risoluzione di questo esercizio:
Sia $T$ l'endomorfismo in $R^3$ tale che:
$T(1,0,0) = (-2,-2,1)$, $T(1,0,-1) = (-3,0,-3)$, $T(0,-1,0) = (2,-1,2)$.
1) Trovare la matrice $ A $ di $T$ rispetto alla base naturale;
2) Trovare una base spettrale ortonormale;
3) La conica di matrice $A$ ha equazione cartesiana $1x^2-4xy-2y^2-4x+2y-2 = 0$
Soluzione punto 1:
io ho proceduto in questo modo:
base naturale o ...
Salve ragazzi. Vorrei chiedervi aiuto con questo esercizio,poichè l'ho anche svolto ma vorrei conferma. Vi lascio la traccia
Determinare una base dei seguenti sottospazi vettoriali:
W=L((-1,3),(0,0))
U=L((1,2,-1),(0,1,1),(0,1,-2)) ($)\subset R^3
VI RINGRAZIO IN ANTICIPO
Ciao a tutti. Ho un dubbio su un paio di esercizi, e sul loro procedimento riguardo la determinazione della matrice associata. Nel primo esercizio ( svolto in aula dal professore ) aveva un endomorfismo $ f:R_2[x]rarr R_2[x] $ con questa base assegnata $ B={x^2+1;x+1;x^2+x} $ con espressione matematica della applicazione pari a $ f(a+bx+cx^2)rarr (b+2c) $ cioè al generico polinomio si associa la sua derivata. Ora in aula abbiamo calcolato le immagini di questi polinomi ( facendone la derivata appunto ) e ...
Buonasera, mi scuso in anticipo della domanda che presumo sia banale(sono alle basi..) ma non riesco a trovare risposte, ho questo problema:
Determinare il punto o i punti della retta di equazione y=-x+2 che formano con A(1;1) e B(3;3) un triangolo di area 2.
Ho ricavato la "base" AB del triangolo facendo la formula della distanza tra i 2 punti e mi è venuto
$ 2 sqrt(2) $
facendo poi la formula inversa dell'area del triangolo ho trovato la sua altezza che deve essere ...
Mi è venuto un dubbio pratico,
ho letto "per verificare se un insieme di vettori è una base devo verificare che essi siano:
-linearmente indipendenti
-generatori dello spazio vettoriale di cui parlo."
ma manca qualcosa o sbaglio? Perchè è la definizione di sistema di generatori! Infatti per essere tali i vettori devono:
-essere linearmente indipendenti
-se ho uno spazio $R^n$ il numero di vettori che prendo in esame devono essere almeno $n$
Ed è qui che sta la ...
Esercizio 6 Sia f l’unico endomorfismo di R3 tale che:
{f(e1) = e1 −e2
f(e2) = e1 −e2
f(e3) = 2e1 −2e2 }
dove (e1,e2,e3) `e la base canonica di R3.
a) Determinare il polinomio caratteristico di f.
b) Stabilire se f `e diagonalizzabile oppure no.
c) Determinare gli eventuali valori di k per i quali il vettore
[2
k
k +2]
appartiene all’immaginedi f. Soluzione. a) p(x) =−x3. b) Non diagonalizzabile. c) k =−2.
aiuto non so da dove cominciare, non riesco a trovare la ...
Buonasera. Ho un esercizio che non riesco a svolgere. Ecco qua:
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
So che bisogna valutare la matrice completa e la matrice incompleta della retta messa insieme al piano. Il primo dubbio è:
la matrice completa della retta e del piano è la prima o la seconda? Non capisco con che segno vanno inserite le costanti, per esempio $(-3lambda)$
$ ( ( lambda , -2lambda , 4 , 0 ),( 1 , 0 , -1 , -3lambda ),( 2 , 1 , -3 , 0 ) ) $
$ ( ( lambda , -2lambda , 4 , 0 ),( 1 , 0 , -1 , 3lambda ),( 2 , 1 , -3 , 0 ) ) $
Ultimo dubbio: per valutare i ranghi ...
Salve a tutti!
L'esercizio che stavo svolgendo richiede di determinare al posizione della retta $ r :={ ( x - y - z -1 =0 ),( 2x-3y-z-2=0 ):} $ rispetto al piano di equazione $ Pi : hx-y+hz+1=0 $ a al variare del parametro h.
SVOLGIMENTO:
ho determinato la matrice associata al problema $ ( ( 1 , -1 , -1 , |1 ),( 2 , -3 , -1 , |2 ),( h , -1 , h , |-1 ) ) $ e col metodo di eliminazione di Gauss ho ottenuto la seguente matrice $ ( ( 1 , -1 , -1 , |1 ),( 0 , 1 , -1 , |0 ),( h , 0 , h-1 , |-1 ) ) $, da cui non ottengo le soluzioni richieste dall'esercizio applicando Rouché - Capelli (se h = 1/3 l'intersezione è vuota, altrimenti ...
Buonasera , scusatemi, molto gentilmente posso avere una delucidazione sulla definizione di topologia naturale in $R^n$ ?
Ho cercato da varie parti ma ho trovato pochissimissimo.
Grazie mille.
Buon pomeriggio a tutti!! Stavo svolgendo questo esercizio di geometria
"Sia V uno spazio vettoriale sul campo $RR$, sia $varphi inPS(V)$ un prodotto scalare definito positivo, sia f un endomorfismo di V e $f^*$ il suo aggiunto. Si defisce $g=f*f^(*)+f^(*)*f$.
a)Dimostrare che $Ker g= Ker f nn Ker f^(*)$
b)g è diagonalizzabile?
c) Nel caso in cui $f^(2)=0$, dimostrare che esiste una base ortonormale di $Im f$ di autovettori per g."
Non so come partire . Stavo ...
Salve! Stavo svolgendo un esercizio sulle coniche e volevo essere sicuro del mio ragionamento che posto qui sotto.
"Dato $lambda in RR$, si consideri in $RR^2$ la conica $C_(lambda): lambdax^2+2y^2+2xy+2lambdax+2y+2=0$ Riconoscere al variare di $lambda in RR$ il tipo della conica $C_(lambda)$
Ho considerato le due matrici associate alla conica $A'=((lambda,1,lambda),(1,2,1),(lambda,1,2))$ e la matrice $A=((lambda,1),(1,2))$
Ora la conica è degenere se e solo se $det(A')=0$. Questo risulta essere $(lambda-2)(2lambda-1)$. Quindi per ...
Salve, spesso ho incontrato esercizi del tipo: dato il seguente polinomio caratteristico scrivi una matrice diagonalizzabile (o non). Ho sempre risolto l'esercizio a tentativi, e mi chiedevo se ci fosse un metodo più veloce ed efficace.
Grazie a tutti!
Sono in dubbio sul seguente procedimento risolutivo per il seguente tipo di esercizio: "Sia $V$ uno spazio vettoriale e $X$ un suo sottospazio di base $\{v_1,v_2\}$ (non necessariamente ortonormale) (La base è di $X$). Si vuole calcolare la proiezione di un vettore $v$ che appartiene a $V$ su $X$." La mia idea era la seguente: calcolo $c_i$ facendo \[c_i=\dfrac{v\cdot v_i}{v_i \cdot v_i}\] e poi ...
Questa domanda non riguarda alcun esercizio in particolare ma per me ha una certa rilevanza teorica.
Non riesco a venire totalmente a capo del fatto che il punto improprio di una parabola y=ax^2 è x=0 (ad essere precisi, sono due punti coincidenti).
Come dovrei pensare al punto improprio? Fino ad ora ho pensato ai punti impropri come punti ottenuti facendo il "limite" per tutte le loro variabili indipendenti tendenti a infinito. So che spesso non si parla neanche di funzioni con le coniche ma ...
Chiaramente la richiesta di aiuto è diretta all'esperto del settore: Killing_buddha
Voglio calcolare $H^{•}(\mathbb{P}_{\mathbb{R}}^n)$ con Mayer-Vietoris... Come aperti ho pensato (come nel caso complesso) di prendere $U={X \in \mathbb{P}_{\mathbb{R}}^n\ |\ x_0 \ne 0}$ e $V=\mathbb{P}_{\mathbb{R}}^n \\ [1,0, \cdots, 0]$
Chiaramente $U \cong \mathbb{R}^n$, $V$ è omotopicamente equivalente a $\mathbb{P}_{\mathbb{R}}^{n-1}$ e la loro intersezione dovrebbe essere omotopicamente equivalente a $S^{n-1}$
\begin{CD}
U \cap V \longmapsto S^{n-1} \\
[x_0, x_1, \cdots, x_{n-1}, ...
Sia $V$ spazio vettoriale di dimensione finita $n$ su $K$. Siano $U$ e $W$ sottospazi vettoriali di $V$.
Provare l'isomorfismo $(\frac{U+W}{W})^{du}\cong \frac{W^{or}}{U^{or}\cap W^{or}}$.
Dove $U^{or}={f: V\rightarrow K : f(u)=0 \forall u\in U}$ (ovvero l'ortogonale di $U$: non riuscivo a fare il simbolo di ortogonale).
E $(\frac{U+W}{W})^{du}$ indica il duale di $(\frac{U+W}{W})$, ovvero l'insieme delle applicazioni lineari da $(\frac{U+W}{W})$ a $K$ (non ...
Buongiorno a tutti!
Ho alcuni problemi nel determinare la forma canonica di Jordan per la seguente matrice
3 0 1 0
0 -3 0 1
-1 0 1 0
0 -1 0 -1
Il polinomio caratteristico della matrice è [(t+2)^2][(t-2)^2].
Perciò gli autovalori sono
t= 2 con molteplicità algebrica uguale a 2, e molteplicità geometrica uguale a 1
t= -2 con molteplicità algebrica uguale a 2, e molteplicità geometrica uguale a 1
Quindi non è diagonalizzabile.
Il mio problema è proprio come riuscire a calcolare la ...
Ho dei dubbi sul punto 2 del primo esercizio e sul punto 3 del secondo.
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
Per quanto riguarda il punto due del primo devo dimostrare che $ phi_1:V//^ _|_W rarr (W//V^_|_)^** $ e $ phi_2:W//V^_|_ rarr (V//^ _|_W )^** $ sono isomorfismi. Si dimostra facilmente che sono lineari e entrambe le funzioni hanno un nucleo di dimensione nulla perché se un vettore appartenesse al nucleo non potrebbe appartenere allo spazio dominio della corrispettiva funzione. Per ...
Salve a tutti,
sto provando a risolvere un esercizio di algebra lineare la cui traccia è:
Completare la dimostrazione della Proposizione 3.3 nel caso in cui il vettore $\underline{t}$ é parallelo a $\underline{v}$
La proposizione 3.3 dice:Dati due vettori $\underline{v}$, $\underline{w}$ non paralleli. I vettori complanari con $\underline{v}$ e $\underline{w}$ sono tutte e sole le combinazioni lineari di $\underline{v}$ e ...
Ciao a tutti!
Avrei bisogno di un chiarimento, ho sempre saputo che il vettore vuoto non può far parte di una base, ma esso può essere un sottospazio (ad esempio i sottospazi banali di $R^2$ sono ${0}$ e $R^2$ )
Detto ciò calcolando un sottoinsieme di $R^(n,n)$ ho ottenuto che esso è ${0}$. Perciò ho concluso che tale sottoinsieme è un sottospazio banale di $R^(n,n)$ ma non ha nessuna base, mentre qui le soluzioni suggeriscono ...
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