Endomorfismi autoaggiunti e diagonalizzabilità
Buon pomeriggio a tutti!! Stavo svolgendo questo esercizio di geometria
"Sia V uno spazio vettoriale sul campo $RR$, sia $varphi inPS(V)$ un prodotto scalare definito positivo, sia f un endomorfismo di V e $f^*$ il suo aggiunto. Si defisce $g=f*f^(*)+f^(*)*f$.
a)Dimostrare che $Ker g= Ker f nn Ker f^(*)$
b)g è diagonalizzabile?
c) Nel caso in cui $f^(2)=0$, dimostrare che esiste una base ortonormale di $Im f$ di autovettori per g."
Non so come partire
. Stavo pensando a qualche risultato sul teorema spettrale. Penso che in questo esercizio sia utile...
"Sia V uno spazio vettoriale sul campo $RR$, sia $varphi inPS(V)$ un prodotto scalare definito positivo, sia f un endomorfismo di V e $f^*$ il suo aggiunto. Si defisce $g=f*f^(*)+f^(*)*f$.
a)Dimostrare che $Ker g= Ker f nn Ker f^(*)$
b)g è diagonalizzabile?
c) Nel caso in cui $f^(2)=0$, dimostrare che esiste una base ortonormale di $Im f$ di autovettori per g."
Non so come partire
. Stavo pensando a qualche risultato sul teorema spettrale. Penso che in questo esercizio sia utile...
Risposte
Ciao,
iniziamo con il primo punto: che $ker(f) nn ker(f^{**}) \subset Ker(g)$ si vede facilmente, per il viceversa se $v \in Ker(g)$ allora $g(v) = 0$ e quindi $\varphi(g(v), v) = 0$, cosa puoi dedurre da questa uguaglianza e dal fatto che il ps è definito positivo?
iniziamo con il primo punto: che $ker(f) nn ker(f^{**}) \subset Ker(g)$ si vede facilmente, per il viceversa se $v \in Ker(g)$ allora $g(v) = 0$ e quindi $\varphi(g(v), v) = 0$, cosa puoi dedurre da questa uguaglianza e dal fatto che il ps è definito positivo?
Intanto grazie per la disponibilità. Un inclusione in effetti l'avevo verificata anche io. Poi avevo preso la strada del controllo dimensionale senza buoni risultati però...
Mi sfugge il passaggio da g(v)=0 al prodotto scalare e poi come concludo? Dal fatto che è uguale a zero e che è definito pos.(ovvero maggiore stretto)?
Mi sfugge il passaggio da g(v)=0 al prodotto scalare e poi come concludo? Dal fatto che è uguale a zero e che è definito pos.(ovvero maggiore stretto)?
"nick_10":
Intanto grazie per la disponibilità. Un inclusione in effetti l'avevo verificata anche io. Poi avevo preso la strada del controllo dimensionale senza buoni risultati però...
Mi sfugge il passaggio da g(v)=0 al prodotto scalare e poi come concludo? Dal fatto che è uguale a zero e che è definito pos.(ovvero maggiore stretto)?
Una cosa del genere: $\varphi(g(v), v) = \varphi(f(f^{**}(v)) + f^{**}(f(v)), v) = \varphi(f(f^{**}(v)), v) + \varphi(f^{**}(f(v)), v))$, sfruttando le definizioni di aggiunto si arriva a $\varphi(f^{**}(v), f^{**}(v)) + \varphi(f(v), f(v)) = 0$, ecco ma dal fatto che $\varphi$ è definito positivo si deduce che i due addendi devono essere nulli, ovvero $\varphi(f(v), f(v)) = \varphi(f^{**}(v), f^{**}(v))$ ma un ps definito positivo non ammette vettori isotropi non nulli e dunque $f(v) = f^{**}(v) = 0$ ovvero $v \in Ker(f) \nn Ker(f^{**})$.
Il secondo punto come lo faresti?
Ciao!
Avevo pensato di dimostrare che g fosse autoaggiunto di qualcosa (rispetto al prodotto scalare definito positivo) per concludere con il teorema spettrale
La tua strada è corretta! Prova a dimostrare che \varphi(g(v), w) = \varphi(v, g(w))$.
Se iniziassi a svilupparlo come nel punto precedente?
$varphi(g(v),w)=varphi(ff^(*)(v)+f^(*)f(v),w)=varphi(ff^(*)(v),w)+varphi(f^(*)f(v),w)$
Ora però che faccio? Uso qualcosa dell'aggiunto?
$varphi(g(v),w)=varphi(ff^(*)(v)+f^(*)f(v),w)=varphi(ff^(*)(v),w)+varphi(f^(*)f(v),w)$
Ora però che faccio? Uso qualcosa dell'aggiunto?
Sì, sfrutti il fatto che $f$ è l'aggiunto di $f^{**}$ e viceversa
Ok grazie
Quindi dovrebbe risultare $=varphi(f^(*)(v),f^(*)(w))+varphi(f(v),f(w))$
Cosi come l'altro( ovvero $varphi(v,g(w))$)
Quindi posso concludere col teorema spettrale: g è diagonalizzabile
Quindi dovrebbe risultare $=varphi(f^(*)(v),f^(*)(w))+varphi(f(v),f(w))$
Cosi come l'altro( ovvero $varphi(v,g(w))$)
Quindi posso concludere col teorema spettrale: g è diagonalizzabile
Perfetto. L'ultimo punto comelo faresti?
Allora dal punto precedente, per il teorema spettrale dovrei gia sapere che esiste una base ortonormale di autovettori per g.
Dovrei dimostrare che appartengono a $Im f$.
Dal fatto che $f^2=0$ mi viene in mente che $Im f sube Ker f$
Dovrei dimostrare che appartengono a $Im f$.
Dal fatto che $f^2=0$ mi viene in mente che $Im f sube Ker f$
Quello è certamente vero, tuttavia devi dimostrare che in $Im(f)$ ci sono autovettori, una possibile via per arrivare alla tesi è dimostrare che $Im(f)$ è $g$ invariante.
Quindi devo dimostrare che Im(f) è g-invariante. Prendo un v in Imf e vedo che il rispettivo g(v) appartiene ancora all'immagine e poi?
Perchè in questo modo gli autovettori sono tutti in Im f?
Perchè in questo modo gli autovettori sono tutti in Im f?
"nick_10":
Quindi devo dimostrare che Im(f) è g-invariante. Prendo un v in Imf e vedo che il rispettivo g(v) appartiene ancora all'immagine e poi?
Perchè in questo modo gli autovettori sono tutti in Im f?
Perché $g$ è diagonalizzabile e quindi anche la sua restrizione ad ogni sottospazio $g$- invariante lo è.
Quindi se dimostri che $Im(f)$ è $g$ invariante allora la restrizione di $g$ a $Im(f)$ è diagonalizzabile, in questo modo recuperi un base di autovettori. Adesso devi dimostrare che ne esiste una ortonormale di autovettori.
Ah ok. Ci sono adesso.
Per dimostrare che ne esiste una ortonormale potrei provare a dimostrare che la restrizione di g a Im f è autoaggiunto
Per dimostrare che ne esiste una ortonormale potrei provare a dimostrare che la restrizione di g a Im f è autoaggiunto
Esatto, chiaramente anche la restrizione del prodotto scalare a $Im(f)$ rimane definita positiva e quindi concludi con il th. spettrale reale.
Ok perfetto grazie!
Cerco di mettere insieme i pezzi. Per dimostrare che Im f è g-invariante prendo $w in Im f$. Questo vuol dire che esiste $v in V$ tale che $f(v)=w$
Considero g(w); $g(w)=varphi(g(w,w))=varphi(g(f(v),f(v))$. Puo essere la strada giusta?
Poi come dimostro che una restrizione è autoaggiunta?
Cerco di mettere insieme i pezzi. Per dimostrare che Im f è g-invariante prendo $w in Im f$. Questo vuol dire che esiste $v in V$ tale che $f(v)=w$
Considero g(w); $g(w)=varphi(g(w,w))=varphi(g(f(v),f(v))$. Puo essere la strada giusta?
Poi come dimostro che una restrizione è autoaggiunta?
"nick_10":
Ok perfetto grazie!
Cerco di mettere insieme i pezzi. Per dimostrare che Im f è g-invariante prendo $w in Im f$. Questo vuol dire che esiste $v in V$ tale che $f(v)=w$
Considero g(w); $g(w)=varphi(g(w,w))=varphi(g(f(v),f(v))$. Puo essere la strada giusta?
Poi come dimostro che una restrizione è autoaggiunta?
Non ho ben capito quello che hai fatto, consideri $g(w)$ e questo è $g(f(v)) = ...$.
Se è autoaggiunta rispetto a $\varphi$ su $V$ allora a maggior ragione lo è in un suo sottospazio.
Devo dimostrare che g(w) appartiene ancora all'immagine. Quindi stavo passando attraverso il prodotto scalare
"nick_10":
Devo dimostrare che g(w) appartiene ancora all'immagine. Quindi stavo passando attraverso il prodotto scalare
Ok, vediamo cosa ne viene fuori
Allora ero arrivato a questo punto:
$g(w)=varphi(g(w),w)=varphi(g(f(v),f(v))=varphi(ff^(*)f(v)+f^(*)f(f(v),f(v))$ Ora per ipotesi dovrei sapere che $f(f(v))=0$, dunque mi riduco a $g(w)=varphi(ff^(*)(f(v)),f(v))$
Sono vicino o mi sono allontanato troppo?
$g(w)=varphi(g(w),w)=varphi(g(f(v),f(v))=varphi(ff^(*)f(v)+f^(*)f(f(v),f(v))$ Ora per ipotesi dovrei sapere che $f(f(v))=0$, dunque mi riduco a $g(w)=varphi(ff^(*)(f(v)),f(v))$
Sono vicino o mi sono allontanato troppo?
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