Esercizio difficile su spazi quozienti e ortogonali
Sia $V$ spazio vettoriale di dimensione finita $n$ su $K$. Siano $U$ e $W$ sottospazi vettoriali di $V$.
Provare l'isomorfismo $(\frac{U+W}{W})^{du}\cong \frac{W^{or}}{U^{or}\cap W^{or}}$.
Dove $U^{or}={f: V\rightarrow K : f(u)=0 \forall u\in U}$ (ovvero l'ortogonale di $U$: non riuscivo a fare il simbolo di ortogonale).
E $(\frac{U+W}{W})^{du}$ indica il duale di $(\frac{U+W}{W})$, ovvero l'insieme delle applicazioni lineari da $(\frac{U+W}{W})$ a $K$ (non riuscivo a fare il simbolo giusto).
Provare l'isomorfismo $(\frac{U+W}{W})^{du}\cong \frac{W^{or}}{U^{or}\cap W^{or}}$.
Dove $U^{or}={f: V\rightarrow K : f(u)=0 \forall u\in U}$ (ovvero l'ortogonale di $U$: non riuscivo a fare il simbolo di ortogonale).
E $(\frac{U+W}{W})^{du}$ indica il duale di $(\frac{U+W}{W})$, ovvero l'insieme delle applicazioni lineari da $(\frac{U+W}{W})$ a $K$ (non riuscivo a fare il simbolo giusto).
Risposte
Hai provato con il teorema di isomorfismi per spazi vettoriali, di solito con quello si risolvono "cose di questo tipo"...
Oppure dimostra che hanno la stessa dimensione...
Oppure dimostra che hanno la stessa dimensione...
Per le dimensioni è un conto e torna. Bisognerebbe trovare un' applicazione lineare iniettiva per concludere l'isomorfismo tra i due quozienti. Ma non riesco a trovarne.
Oppure col primo teorema di isomorfismo si potrebbe provare, ma non è così semplice, anche perché dovrei trovare un modo per mandare $W^_|_$ in $(\frac{U+W}{W})^**$ e vedere che poi il ker di tale applicazione è $U^_|_\cap W^_|_=(U+W)^_|_$, e non ne vedo... Suggerimenti?
Oppure col primo teorema di isomorfismo si potrebbe provare, ma non è così semplice, anche perché dovrei trovare un modo per mandare $W^_|_$ in $(\frac{U+W}{W})^**$ e vedere che poi il ker di tale applicazione è $U^_|_\cap W^_|_=(U+W)^_|_$, e non ne vedo... Suggerimenti?
Non ragionare con lo spazio duale, ricorda che questo per spazi vettoriali si dimensione finita è isomorfo allo spazio.
Voglio ricordarti che due spazi vettoriali di dimensione finita sono isomorfio se e solo se hanno la stessa dimensione. Tramite un isomorfismo che manda gli $n$ vettori della base di uno negli $n$ vettori della base dell'altro.
Voglio ricordarti che due spazi vettoriali di dimensione finita sono isomorfio se e solo se hanno la stessa dimensione. Tramite un isomorfismo che manda gli $n$ vettori della base di uno negli $n$ vettori della base dell'altro.
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