Prodotto Scalare vs. Prodotto Hermitiano
Salve a tutti,
so che può sembrare si tratti di pignoleria, ma c'è un piccolo passaggio logico del Lang che mi sfugge.
Sul Lang viene definito prodotto scalare un'applicazione \(\displaystyle V \times V \rightarrow K \) che soddisfa tre proprietà, ovvero
Il prodotto scalare viene quindi definito su di un generico campo \(\displaystyle K \). Poco più avanti viene trattato il prodotto hermitiano, di caratteristiche simili, bensì in parte differenti (coniugato-simmetrico etc). Esso viene definito solo sul campo complesso...
La mia domanda è: è possibile, ad esempio, utilizzare il prodotto scalare standard sui complessi? Si noti che i risultati sarebbero differenti dall'utilizzo di un prodotto hermitiano: i vettori \(\displaystyle (1,i), (2, i) \) ne sono un esempio - i risultati sono diversi!
A rigor di logica dovrebbe essere possibile, in quanto, mentre il prodotto hermitiano viene definito solo sui complessi, il prodotto scalare viene definito su tutti i campi, quindi anche quello complesso.
N.B. Nel mio corso, così come fa il Lang, la definita-positività non è una proprietà della definizione di prodotto scalare, bensì una caratteristica: tutte le forme bilineari simmetriche le consideriamo prodotti scalari, anche se non definite positive!
Grazie mille a tutti!
so che può sembrare si tratti di pignoleria, ma c'è un piccolo passaggio logico del Lang che mi sfugge.
Sul Lang viene definito prodotto scalare un'applicazione \(\displaystyle V \times V \rightarrow K \) che soddisfa tre proprietà, ovvero
\(\displaystyle \mathit{<\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}>=<\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}>} \)
\(\displaystyle \mathit{<\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u'},\overrightarrow{v}>=<\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}>+<\overrightarrow{u'},\overrightarrow{v}>} \)
\(\displaystyle \mathit{<\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u'},\overrightarrow{v}>=<\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}>+<\overrightarrow{u'},\overrightarrow{v}>} \)
\(\displaystyle \mathit{<\lambda\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}>=\lambda<\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}>=<\overrightarrow{u},\lambda\overrightarrow{v}>} \)
Il prodotto scalare viene quindi definito su di un generico campo \(\displaystyle K \). Poco più avanti viene trattato il prodotto hermitiano, di caratteristiche simili, bensì in parte differenti (coniugato-simmetrico etc). Esso viene definito solo sul campo complesso...
La mia domanda è: è possibile, ad esempio, utilizzare il prodotto scalare standard sui complessi? Si noti che i risultati sarebbero differenti dall'utilizzo di un prodotto hermitiano: i vettori \(\displaystyle (1,i), (2, i) \) ne sono un esempio - i risultati sono diversi!
A rigor di logica dovrebbe essere possibile, in quanto, mentre il prodotto hermitiano viene definito solo sui complessi, il prodotto scalare viene definito su tutti i campi, quindi anche quello complesso.
N.B. Nel mio corso, così come fa il Lang, la definita-positività non è una proprietà della definizione di prodotto scalare, bensì una caratteristica: tutte le forme bilineari simmetriche le consideriamo prodotti scalari, anche se non definite positive!
Grazie mille a tutti!
Risposte
Tutto corretto!
... e le forme bilineari simmetriche (semi)definite positive\negative si possono definire sul campo reale \(\displaystyle\mathbb{R}\) e su qualsiasi campo ordinato (ad esempio \(\displaystyle\mathbb{Q}\)).
... e le forme bilineari simmetriche (semi)definite positive\negative si possono definire sul campo reale \(\displaystyle\mathbb{R}\) e su qualsiasi campo ordinato (ad esempio \(\displaystyle\mathbb{Q}\)).
Si tu puoi fare il prodotto scalare anche su spazi vettoriali su $CC$, l'unica cosa è che non è vero che il risultato debba fare un numero reale, come succede invece per i prodotto hermitiani.
Grazie mille, gentilissimi!
Ultimi dubbiettino, anzi due: nell'ultima risposta volevi dire complessi al posto di reali, vero? E volevo sapere se tutto ciò si applica anche alle forme bilineari/sesquilineari. Mi spiego meglio, una forma bilineare è ammessa anche su spazi vettoriali complessi, mentre una forma sesquilineare solo sui complessi? O sto confondendo tutto?
Ultimi dubbiettino, anzi due: nell'ultima risposta volevi dire complessi al posto di reali, vero? E volevo sapere se tutto ciò si applica anche alle forme bilineari/sesquilineari. Mi spiego meglio, una forma bilineare è ammessa anche su spazi vettoriali complessi, mentre una forma sesquilineare solo sui complessi? O sto confondendo tutto?
Potrebbe darsi che mi stia sbagliando ma volevo dire proprio reali, però mi sono accorto che dovevo specificare che il risultato è reale se i due argomenti sono uguali, mentre questo non è detto che succeda per i prodotti scalari.
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