Posizione di una retta rispetto a un piano
Salve a tutti!
L'esercizio che stavo svolgendo richiede di determinare al posizione della retta $ r :={ ( x - y - z -1 =0 ),( 2x-3y-z-2=0 ):} $ rispetto al piano di equazione $ Pi : hx-y+hz+1=0 $ a al variare del parametro h.
SVOLGIMENTO:
ho determinato la matrice associata al problema $ ( ( 1 , -1 , -1 , |1 ),( 2 , -3 , -1 , |2 ),( h , -1 , h , |-1 ) ) $ e col metodo di eliminazione di Gauss ho ottenuto la seguente matrice $ ( ( 1 , -1 , -1 , |1 ),( 0 , 1 , -1 , |0 ),( h , 0 , h-1 , |-1 ) ) $, da cui non ottengo le soluzioni richieste dall'esercizio applicando Rouché - Capelli (se h = 1/3 l'intersezione è vuota, altrimenti l'intersezione è un punto).
Cosa sbaglio?
L'esercizio che stavo svolgendo richiede di determinare al posizione della retta $ r :={ ( x - y - z -1 =0 ),( 2x-3y-z-2=0 ):} $ rispetto al piano di equazione $ Pi : hx-y+hz+1=0 $ a al variare del parametro h.
SVOLGIMENTO:
ho determinato la matrice associata al problema $ ( ( 1 , -1 , -1 , |1 ),( 2 , -3 , -1 , |2 ),( h , -1 , h , |-1 ) ) $ e col metodo di eliminazione di Gauss ho ottenuto la seguente matrice $ ( ( 1 , -1 , -1 , |1 ),( 0 , 1 , -1 , |0 ),( h , 0 , h-1 , |-1 ) ) $, da cui non ottengo le soluzioni richieste dall'esercizio applicando Rouché - Capelli (se h = 1/3 l'intersezione è vuota, altrimenti l'intersezione è un punto).
Cosa sbaglio?
Risposte
Trattandosi di un sistema di 3 incognite ed altrettante equazioni, la risposta è agevole.
Il determinante della matrice dei coefficienti del sistema è $1-3h$ che si annulla per $h=1/3$
Perciò se $h \ne 1/3$ il sistema è compatibile con una sola soluzione e ciò geometricamente
significa che i 3 piani hanno un punto in comune.
Se invece $h=1/3$ il sistema è incompatibile e ciò vuol geometricamente dire che i 3 piani non hanno punti in comune.
Quest'ultima affermazione è provata anche dal fatto che ( sempre per $h=1/3$) il vettore direzionale della retta comune
ai primi due dei 3 piani dati è $(2,1,1)$ mentre il vettore direzionale della normale al terzo piano è $(1,-3,1)$
Come si vede questi due vettori sono reciprocamente normali e questo significa che la retta d'intersezione dei primi
due piani è parallela al terzo.
Il determinante della matrice dei coefficienti del sistema è $1-3h$ che si annulla per $h=1/3$
Perciò se $h \ne 1/3$ il sistema è compatibile con una sola soluzione e ciò geometricamente
significa che i 3 piani hanno un punto in comune.
Se invece $h=1/3$ il sistema è incompatibile e ciò vuol geometricamente dire che i 3 piani non hanno punti in comune.
Quest'ultima affermazione è provata anche dal fatto che ( sempre per $h=1/3$) il vettore direzionale della retta comune
ai primi due dei 3 piani dati è $(2,1,1)$ mentre il vettore direzionale della normale al terzo piano è $(1,-3,1)$
Come si vede questi due vettori sono reciprocamente normali e questo significa che la retta d'intersezione dei primi
due piani è parallela al terzo.
Ok, ma col metodo delle riduzioni di Gauss non dovrei ottenere il medesimo risultato?
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