Basi e sistemi di generatori, la differenza?

[Bertucciamaldestra]

Mi è venuto un dubbio pratico,
ho letto "per verificare se un insieme di vettori è una base devo verificare che essi siano:
-linearmente indipendenti
-generatori dello spazio vettoriale di cui parlo."

ma manca qualcosa o sbaglio? Perchè è la definizione di sistema di generatori! Infatti per essere tali i vettori devono:

-essere linearmente indipendenti
-se ho uno spazio $R^n$ il numero di vettori che prendo in esame devono essere almeno $n$

Ed è qui che sta la differenza tra base e generatori? Se ho dei vettori linearmente indipendenti, posso dire che sono dei generatori se $m$(numero vettori)$>n$ mentre se ho $m=n$ sono sia generatori che base?

Grazie!!

[axpgn]

... che io sappia i vettori di un sistema di generatori non è necessario che siano linearmente indipendenti, d'altra parte se la base ha dimensione $n$ e il sistema di generatori ha dimensione $m>n$ allora gli $m$ vettori sono linearmente dipendenti ...

[Bertucciamaldestra]

Per capire se dei vettori sono un sistema di generatori vedi se il rango della matrice associata è massimo, per capire se sono linearmente indipendenti conti i pivot della matrice ridotta. Però se è vero che il rango della matrice non ridotta coincide con il numero di pivot della matrice ridotta... forse confondo io le due cose

[axpgn]

Una base è un sistema di generatori mentre un sistema di generatori non è detto che sia una base ... detto in altri termini, una base è un sistema di generatori avente la dimensione minima possibile ...

Un insieme di vettori è un sistema di generatori per uno spazio se ogni vettore del suddetto spazio può essere costruito come combinazione lineare dei vettori appartenenti all'insieme; non è detto però che siano linearmente indipendenti, se invece lo sono allora costituiscono una base ...

Quindi per capire se un insieme di vettori è un sistema di generatori devi costruire un sistema lineare con i vettori come colonne e il generico vettore dello spazio come termine noto: se il sistema lineare ha soluzione allora quell'insieme di vettori è un sistema di generatori ...

[Bertucciamaldestra]

Sei stato chiarissimo grazie mille!