Aiuto nella Risoluzione Esercizio

[danilo2201]

Salve a tutti.
volevo avere dei chiarimenti sulla risoluzione di questo esercizio:
Sia $T$ l'endomorfismo in $R^3$ tale che:
$T(1,0,0) = (-2,-2,1)$, $T(1,0,-1) = (-3,0,-3)$, $T(0,-1,0) = (2,-1,2)$.

1) Trovare la matrice $ A $ di $T$ rispetto alla base naturale;
2) Trovare una base spettrale ortonormale;
3) La conica di matrice $A$ ha equazione cartesiana $1x^2-4xy-2y^2-4x+2y-2 = 0$

Soluzione punto 1:
io ho proceduto in questo modo:

base naturale o canonica uso la matrice

$((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$

$T(1,0,0) = a(1,0,0)+b(1,0,-1)+c(0,-1,0)$

metto a sistema

$\{(1=1a + 1b + 0c),(0=0a+0b-1c),(0=0a+1b+1c):}$ $\{(a=1),(b=0),(c=0):}$

$T(1,0,0) = a(-2,-2,1)+b(1,0,-1)+c(0,-1,0)$

$((-2,0,0),(-2,0,0),(1,0,0))$

allora $T(1,0,0)=(-2,-2,1)$

cosi anche per gli altri 2 passaggi che salto
mi viene la matrice

$T = ((-2,-2,1),(-2,1,-2),(1,-2,-2))$

$A = ((1,0,0),(0,-1,0),(1,-1,0))$

Soluzione punto 2:

per la base spettrale dovrei diagonalizzare la matrice $T$ giusto?

uso $(\lambdaI-T)$

$T = ((t+2,-2,1),(-2,t-1,-2),(1,-2,t+2))$

$t^3+3t^2-15t+1$ poi da questo punto non so come andare avanti...

qualche buon anima mi puoi aiutare (controllando se il ragionamento del primo punto è corretto oppure no), (indicandomi anche eventuali esercizi di questo genere) per imparare a risolvere esercizi sugli endomorfismi.

grazie

[Magma1]

"gordon22":
mi viene la matrice

$T = ((-2,-2,1),(-2,1,-2),(1,-2,-2))$

$A = ((1,0,0),(0,-1,0),(1,-1,0))$

Che cosa sarebbero queste due matrici?

[danilo2201]

allora

T(1,0,0)=(−2,−2,1) , T(1,0,−1)=(−3,0,−3), T(0,−1,0)=(2,−1,2)

prendo:

$ X^{t} | Y^{t} $

$ ((1,1,0),(0,0,-1),(0,-1,0)) $ | $ ((-2,-3,2),(-2,0,-1),(1,-3,2)) $

per ottenere

$ Im | A^{t} $

faccio le trasformazione elementari per ottenere la identità a sinistra e la matrice $ A^{t} $ .

poi come devo continuare???

se sbaglio come dovrei procedere?