Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti,
continuo ad avere problemi riguardo questo esercizio:
Spazi Euclidei. Si consideri lo spazio vettoriale $ R^3 $ con la struttura euclidea standard e
l’endomorfismo $ f: R^3 -> R^3 $ definito da:
$ f(x, y, z) = (x/3 + sqrt6 /3 y - sqrt2 /3 z, sqrt6 /3 x + sqrt3 /3 z, - sqrt2 /3 x +sqrt3 /3 y +2/3 z) $
A) Provare che $ f $ è un' isometria
B) Determinare il sottospazio $ U $ dei punti fissi di $ f $ ed interpretare $ f $ geometricamente
C)Determinare $ U^\bot $
Ora, il ...
Ad esempio, dati 3 vettori, per trovare la dimensione di un sottospazio vettoriale in $ R^3 $, la dimensione corrisponde al numero di vettori linearmente indipendenti, o corrisponde al rango della matrice formata dai 3 vettori?? O entrambe?
Grazie
Definisco una corrispondenza che mangia due spazi topologici puntati $(X,x_0),(A, a_0)$ e ne restituisce un terzo che si chiama "mezzo smash product":
\[
(X,A)\mapsto X\rtimes A = \frac{X\times A}{\{x_0\}\times A}
\]
1. Dimostrare che $\rtimes $ è associativo: $A\rtimes (B\rtimes C) \cong (A\rtimes B)\rtimes C$. E' anche commutativo ($A\rtimes B \cong B\rtimes A$)?
2. Come si descrive lo spazio $S^1\rtimes X$? E' vero che $S^1\rtimes X$ è un quoziente della sospensione $\Sigma X$ di $X$? Si può usare Van ...
Salve chiedo delle delucidazioni su alcune proposizioni presentate senza dimostrazione sul libro di testo.
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
Che è un isomorfismo (in questo contesto credo lo intenda semplicemente come applicazione biunivoca) si vede subito considerando che ogni applicazione lineare è completamente definita dai valori che assume sui vettori della base. Volevo concentrarmi sul fatto che questo isomorfismo dipende dalla scelta della ...
Ciao a tutti, ho questo quesito:
Si verifichi che l'insieme ${(3,0,-1),(2,-2,0),(-1,1,1)}$ è una base dello spazio vettoriale $R^3$ sul campo $R$.
Il mio libro, come soluzione, afferma che basta verificare che i 3 vettori siano linearmente indipendenti.
La definizione di di base dice che i vettori devono essere linearmente indipendenti ma anche generare tutto lo spazio.
Ma allora non devo verificare anche quest'ultima condizione? Come mai basta verificare che sono linearmente ...
Il teorema di Rouche-Capelli afferma che, dato il sistema $ Ax = b $, ho una sola soluzione se Rango$(A) =$ Rango$(B) = n$.
Non riesco a capire cosa significa $ n $, qualcuno me lo può spiegare in breve? Grazie
Buon pomeriggio,
le matrici $A=((1,1),(0,0))$ $B=((0,1),(1,0))$ $C=((1,0),(0,1))$ generano lo spazio delle matrici simmetriche 2x2?
Per verificarlo bisogna dimostrare l'esistenza e l'unicità dei coefficienti $x_1,x_2,x_3$ tali che
$x_1A+x_2B+x_3C=((a,b),(b,d))$
da ciò ottengo
${x_1= a-c$
${x_2= b-a+c$
${x_3= c$
Ecco ciò che mi chiedo, come so che questi coefficienti sono unici?
Buonasera
dal seguente sistema di generatori ${(1,1,1),(2,2,2),(3,1,2)}$ ho ricavato una base $(1,1,1),(3,1,2)$ dello spazio generato dai vettori di partenza.
Ma qual è la sua dimensione? Perchè in genere ho sempre visto, per spazi come $R^2$ una base composta da due vettori a due componenti, per $R^3$ una base composta da tre vettori a tre componenti ecc. perciò qui dovrei concludere che si tratta di uno spazio di dimensione 2, perchè ho due vettori ma... ha 3 componenti. E' ...
Ciao a tutti!!
Mi aiutereste a calcolare $W∩V$?
$V= {(u+2v, u-v, 2u+3v) : u,v ∈ R}$
$W= {(u-v, u, u+v) : u,v ∈ R}$
Per calcolare la somma dei due sottospazi basta fare componente + componente.
Per l'intersezione devo mettere a sistema due vettori scritti come combinazioni lineari, uno di V, l' altro di W, ed eguagliarli.
Il problema è che mi è venuto fuori un sistema infinito che non riesco a risolvere:
${ x_(1)u + 2x_(1)v = x_(2)u - x_(2)v$
${x_(1)u - x_(1)v = x_(2)v$
${2x_(1)u + 3x_(1)v = x_(2)u + x_(2)v$
Almeno il procedimento è giusto? Il libro da la ...
Ciao, ho bisogno di una conferma riguardo un esercizio di Algebra Lineare.
L'esercizio mi chiede di dimostrare che l'unico autovalore di una matrice idempotente $A=A^2$ con $A ∈ R^(n x n)$ è $λ =1$
Tuttavia da come ho visto in rete e da come poi si dimostra la cosa mi viene che gli autovalori possibili sono sia 0 che 1.
Gli unici esempi di matrici idempotenti che mi vengono in mente sono le matrici identità, per le quali l'unico autovettore è appunto solo 1. In quali casi ...
Buonasera a tutti. In questo esercizio mi si chiede"per quali valori di $ k $ la applicazione lineare è iniettiva " ? . $ f :R^3rarr R^4 $ con $ f(e_1)=(1;k;k;1) $ $ f(e_2)=(0;k;k;1) $ e $ f(e_3)=(2;1;1;1) $ . Inizialmente mi veniva chiesto se esistessero dei valori per cui la $ f $ fosse suriettiva ed ho usato il teorema della dimensione per dimostrare che non esistono questi valori . Infatti se fosse suriettiva allora $ Imf=R^4 rArr dimIm f=dim R^4=4 $ ma per il teorema della dimensione ...
Ciao ragazzi! Ho di nuovo problemi con Gauss
Dati i vettori
$v_1 = (1,0,1)$
$v_2 = (0,0,3)$
$v_3 = (1,2,1)$
$v_4 = (1,-1,0)$
Voglio calcolare il rango della matrice che essi formano ma...
1. Se metto i vettori in colonna anzichè in riga le operazioni che svolgo normalmente con Gauss cambiano?
Ad esempio io ho:
$((1,0,1,1),(0,0,2,-1),(1,3,1,0))$
e facendo R1 - R3 e scambiando R3 con R2 ottengo:
$((1,0,1,1),(0,-3,0,0),(0,0,2,-1))$
sono lecite queste operazioni (che faccio senza problemi quando li dispongo in riga) ...
Ciao a tutti, vorrei aiuto con la seconda parte del problema, sia dal punto di vista teorico che pratico. Innanzitutto perché dice
"L'applicazione lineare associata alla matrice a rispetto alle basi E ed F?
Perché ci stanno sia E che F? Non ne basta una?
http://imgur.com/a/nsNWM
Buongiorno a tutti, ho riscontrato un problema con questo esercizio..
E dato il piano π : x + 2y + 3z + 4 = 0. Determinare i valori di k che rendono π parallelo alla retta r : x−y = 3y + kz + k = 0. Determinare i punti dell’asse y che sono distanti √14 da π. Posto k = 1, calcolare la distanza tra r e la retta s : x−y = 3y + z = 0 (parallela a r).
Potreste aiutarmi per favore, grazie infinite.
Buona sera a tutti, non riesco a risolvere questo problema:
Il piano passante per il punto A (1,1,1)
e ortogonale ai piani π1: 2x+y-z=0, π2: x+2y+z=3,
passa anche per il punto:
1) nessuna delle altre risposte
2) (-1,2,0)
3) (2,0,-1)
4) (3,2,1)
5) (1,3,2)
[xdom="Martino"]Ho modificato il titolo.[/xdom]
Ciao a tutti,
Sto facendo il seguente esercizio:
Data la trasformazione lineare T: $R^3$ $rarr$ $R^3$ data da
T $((x),(y),(z))$ = $\[[x + y + z],[-x + 2y],[x + y - z]]$
Trovare la matrice standard.
Verificate se i vettori sono ortogonali fra loro.
La matrice standard
$((1,1,1),(-1,2,0),(1,1,-1))$
Per verificare se i vettori sono ortogonali, risolvo il sistema:
$\{(x + y + z=0),(-x + 2y=0),(x + y - z=0):}$
Ottengo x =0 y=0 z =0
Non sono sicuro del metodo che ho seguito...
Grazie in anticipo
Scusate come faccio a capire quando un insieme di vettori e sottospazio di un altro insieme? So che devono valere le regole dell'applicazione lineare e che deve contenere il vettore nullo, però non sono sicuro su come applicare questi concetti. Per esempio, parlando in $R3$, la combinazione lineare di 2 vettori l.i. genera un sottospazio di $R3$ giusto? Ora, in un esercizio mi viene chiesto: "il piano di vettori $ (b1, b2, b3) $ tc $ b_3-b_2+3b_1 = 0 $ è un sottospazio ...
L'esercizio è il seguente:
-Trovare un atlante della circonferenza unitaria avente solo due carte. $ S={(x,y) in RR^2 | sqrt(x^2+y^2)=1} $
-Dire se una sola carta sia possibile.
Intuitivamente sono partito dalle funzioni $ f^(+-)(x,y)=(x/(+-sqrt((x^2+y^2))),y/(+-sqrt((x^2+y^2)))) $ che mandano da $ RR^2/((0,0)) $ in $ S $ e sono continue. L'idea era quella di invertirle per trovare due mappe da S in R definite su due aperti costituenti il ricoprimento di S.
Cercavo il modo più semplice per formalizzare questa risposta e per rispondere ...
Ciao
stavo un po' dietro alle forme bilineari e ho cominciato a dannarmi la vita inutilmente usando basi non canoniche.
Tipo definisco:
$phi:VtimesV->RR$ con $B={e_1,...,e_n}$
$phi(v,w)=x_1y_1+...+x_ny_n$
Ora se $B$ è la base canonica, risulta essere ortonormale per il prodotto scalare standard.
Mentre se la base non è canonica sappiamo solo che i vettori sono tra loro ortogonali.
Di fatto $e_j=0e_1+...+e_j+...+0e_n,forallj=1...n$
e se $jnek, phi(e_j,e_k)=0$ mentre $phi(e_j,e_j)=a_(jj) forallj=1...n$
Ora la norma di un vettore si ...
Nello spazio euclideo $R^3$ , si determinino le equazioni della retta passante per i seguenti punti (espressi in coordinate omogenee): A = ( 1,4,1,0 ) e B = (1,1,1,0).
Non ho capito come risolverlo, potreste aiutarmi? grazie mille
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