Polinomio caratteristico endomorfismo

[giorgio_game]

Esercizio 6 Sia f l’unico endomorfismo di R3 tale che:    

{f(e1) = e1 −e2
f(e2) = e1 −e2
f(e3) = 2e1 −2e2 }

dove (e1,e2,e3) `e la base canonica di R3.

a) Determinare il polinomio caratteristico di f.

b) Stabilire se f `e diagonalizzabile oppure no.

c) Determinare gli eventuali valori di k per i quali il vettore 
[2
k
k +2] 
appartiene all’immaginedi f. Soluzione. a) p(x) =−x3. b) Non diagonalizzabile. c) k =−2.


aiuto non so da dove cominciare, non riesco a trovare la matrice a cui applicare la formula del polinomio caratteristico

[feddy]

Ciao,

la matrice che chiedi la trovi disponendo per colonne le immagini di $e_1,e_2,e_3$, che il testo ti da.
Il polinomio caratteristico si trova imponendo $det(A-\lambdaI)$ e le soluzioni dell'equazione $det(A-\lambdaI)=0$ sono gli autovalori.
b) Per essere diagonalizzabile ogni autovalore deve avere molteplicità geometrica uguale alla molteplicità algebrica. Se ne hai $3$ distinti nel tuo caso sai già essere diagonalizzabile, altrimenti devi indagare.
c)Se il vettore appartiene all'immagine allora è combinazione lineare degli elementi che generano una base di $Im(f)$.