Esercizi sulle dualità
Ho dei dubbi sul punto 2 del primo esercizio e sul punto 3 del secondo.
Per quanto riguarda il punto due del primo devo dimostrare che $ phi_1:V//^ _|_W rarr (W//V^_|_)^** $ e $ phi_2:W//V^_|_ rarr (V//^ _|_W )^** $ sono isomorfismi. Si dimostra facilmente che sono lineari e entrambe le funzioni hanno un nucleo di dimensione nulla perché se un vettore appartenesse al nucleo non potrebbe appartenere allo spazio dominio della corrispettiva funzione. Per dire che sono isomorfismi avevo pensato di mostrare che $ dim(W//V^_|_) =dim (V//^ _|_W ) $ quindi cercavo una dimostrazione per questo.
Invece nel punto tre del secondo non capisco cosa mi sta chiedendo o se c'è un errore nel testo, che cosa è $ (Ker\ \ L)^_|_ $?
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Per quanto riguarda il punto due del primo devo dimostrare che $ phi_1:V//^ _|_W rarr (W//V^_|_)^** $ e $ phi_2:W//V^_|_ rarr (V//^ _|_W )^** $ sono isomorfismi. Si dimostra facilmente che sono lineari e entrambe le funzioni hanno un nucleo di dimensione nulla perché se un vettore appartenesse al nucleo non potrebbe appartenere allo spazio dominio della corrispettiva funzione. Per dire che sono isomorfismi avevo pensato di mostrare che $ dim(W//V^_|_) =dim (V//^ _|_W ) $ quindi cercavo una dimostrazione per questo.
Invece nel punto tre del secondo non capisco cosa mi sta chiedendo o se c'è un errore nel testo, che cosa è $ (Ker\ \ L)^_|_ $?
Risposte
Abbiamo che
$(\text{Ker} L)^{_|_}={ \varphi \in V^{\ast}|\ \Phi(v,\varphi)=\varphi(v)=0\ \forall v \in \text{Ker} L}=A$
e (vedi $L^{\ast} : W^{\ast} \mapsto V^{\ast}$ definita a pag. 4) abbiamo che
$\text{Im}L^{\ast}={\psi(L(v))\ |\ \psi \in W^{\ast}, v \in V}=B$
Nota che $\psi @ L \in V^{ast}$ e che $B \sube A$ perché $\psi @ L$ si annulla (banalmente) su ogni vettore del $\text{Ker}L$, ora dovresti dimostrare che hanno la stessa dimensione per concludere che sono uguali.
$(\text{Ker} L)^{_|_}={ \varphi \in V^{\ast}|\ \Phi(v,\varphi)=\varphi(v)=0\ \forall v \in \text{Ker} L}=A$
e (vedi $L^{\ast} : W^{\ast} \mapsto V^{\ast}$ definita a pag. 4) abbiamo che
$\text{Im}L^{\ast}={\psi(L(v))\ |\ \psi \in W^{\ast}, v \in V}=B$
Nota che $\psi @ L \in V^{ast}$ e che $B \sube A$ perché $\psi @ L$ si annulla (banalmente) su ogni vettore del $\text{Ker}L$, ora dovresti dimostrare che hanno la stessa dimensione per concludere che sono uguali.
L'unico modo che mi viene in mente per dimostrare che hanno la stessa dimensione è usare la matrice associata all'applicazione.
$ dim(Im\ L^**)=rank(M_(L^**))=rank(M_L) $
$ dim((Ker\ L)^_|_)=dim(V)-dim(Ker\ L)=rank(M_L) $
Con un ragionamento analogo si dimostra anche l'uguaglianza $ \ ^_|_(Im \ L)=Ker \ L^** $ . Infatti notiamo che $ psi inKer\ L^**sube W^**rArr psi(L(v))=0 \ \ vinVrArrpsiin\^_|_(Im\ L) $ , quindi anche in questo caso manca da dimostrare che hanno la stessa dimensione.
$ dim(Ker \ L^**)=dim(W^**)-rank(M_L)=dim(W)-rank(M_L) =dim(\ ^_|_(Im \ L))$
Per quanto riguarda il primo esercizio si riesce a dimostrare $dim(V//^_|_W)=dim(W//V^_|_) $ ?
Grazie infinite dan per gli aiuti che mi stai dando.
$ dim(Im\ L^**)=rank(M_(L^**))=rank(M_L) $
$ dim((Ker\ L)^_|_)=dim(V)-dim(Ker\ L)=rank(M_L) $
Con un ragionamento analogo si dimostra anche l'uguaglianza $ \ ^_|_(Im \ L)=Ker \ L^** $ . Infatti notiamo che $ psi inKer\ L^**sube W^**rArr psi(L(v))=0 \ \ vinVrArrpsiin\^_|_(Im\ L) $ , quindi anche in questo caso manca da dimostrare che hanno la stessa dimensione.
$ dim(Ker \ L^**)=dim(W^**)-rank(M_L)=dim(W)-rank(M_L) =dim(\ ^_|_(Im \ L))$
Per quanto riguarda il primo esercizio si riesce a dimostrare $dim(V//^_|_W)=dim(W//V^_|_) $ ?
Grazie infinite dan per gli aiuti che mi stai dando.
Prova ad usare il fatto che dim (V/W)=dim V-dim W
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