Matrice di Jordan
Buongiorno a tutti!
Ho alcuni problemi nel determinare la forma canonica di Jordan per la seguente matrice
3 0 1 0
0 -3 0 1
-1 0 1 0
0 -1 0 -1
Il polinomio caratteristico della matrice è [(t+2)^2][(t-2)^2].
Perciò gli autovalori sono
t= 2 con molteplicità algebrica uguale a 2, e molteplicità geometrica uguale a 1
t= -2 con molteplicità algebrica uguale a 2, e molteplicità geometrica uguale a 1
Quindi non è diagonalizzabile.
Il mio problema è proprio come riuscire a calcolare la forma canonica di Jordan avendo due autovalori diversi. Non capisco cosa ci sia di diverso, nel procedimento, rispetto ad una matrice con un unico autovalore, se non il fatto che in quel caso riesco a trovare la forma di Jordan
Ho anche fatto un giro nel forum, ma non sono riuscita a trovare dei post che mi abbiano aiutato a capire il procedimento
Grazie in anticipo!!
E scusate se non ho scritto bene la matrice..
Ho alcuni problemi nel determinare la forma canonica di Jordan per la seguente matrice
3 0 1 0
0 -3 0 1
-1 0 1 0
0 -1 0 -1
Il polinomio caratteristico della matrice è [(t+2)^2][(t-2)^2].
Perciò gli autovalori sono
t= 2 con molteplicità algebrica uguale a 2, e molteplicità geometrica uguale a 1
t= -2 con molteplicità algebrica uguale a 2, e molteplicità geometrica uguale a 1
Quindi non è diagonalizzabile.
Il mio problema è proprio come riuscire a calcolare la forma canonica di Jordan avendo due autovalori diversi. Non capisco cosa ci sia di diverso, nel procedimento, rispetto ad una matrice con un unico autovalore, se non il fatto che in quel caso riesco a trovare la forma di Jordan
Ho anche fatto un giro nel forum, ma non sono riuscita a trovare dei post che mi abbiano aiutato a capire il procedimento
Grazie in anticipo!!
E scusate se non ho scritto bene la matrice..
Risposte
Ciao,
Si fa in modo identico, inizia col calcolare il polinomio minimo dell'endomorfismo.
Si fa in modo identico, inizia col calcolare il polinomio minimo dell'endomorfismo.
Sicuramente sbaglio qualcosa...
Il polinomio caratteristico lo calcolo facendo
(A-tI)^c con c=1,2..
Riporto i calcoli solo di uno perché sicuramente faccio lo stesso errore di procedimento in entrambi
Il polinomio caratteristico di t=2 quindi sarà
(A-2I) che mi viene
1 0 1 0
0 -5 0 1
-1 0 -1 0
0 -1 0 -3
Calcolo adesso (A-2I)^2, che mi viene
0 0 0 0
0 24 0 -8
0 0 0 0
0 8 0 8
E successivamente riesco a calcolare anche (A-2I)^3
Il problema è che con t=-2 mi viene la stessa cosa
Riesco ad arrivare fino ad (A+2I)^3
...ma questo non è possibile
Cosa sto sbagliando?
Il polinomio caratteristico lo calcolo facendo
(A-tI)^c con c=1,2..
Riporto i calcoli solo di uno perché sicuramente faccio lo stesso errore di procedimento in entrambi
Il polinomio caratteristico di t=2 quindi sarà
(A-2I) che mi viene
1 0 1 0
0 -5 0 1
-1 0 -1 0
0 -1 0 -3
Calcolo adesso (A-2I)^2, che mi viene
0 0 0 0
0 24 0 -8
0 0 0 0
0 8 0 8
E successivamente riesco a calcolare anche (A-2I)^3
Il problema è che con t=-2 mi viene la stessa cosa
Riesco ad arrivare fino ad (A+2I)^3
...ma questo non è possibile
Cosa sto sbagliando?
Ciao,
i conti sono giusti solo che devi tenere conto solo delle dimensioni dei nuclei: l'esponente del fattore $t-\lambda$ del polinomio minimo è dato dall'esponente della potenza di $A - \lambdaI$ per cui la dimensione del nucleo si stabilizza, cioè è il minimo intero positivo $k$ per cui $dimKer(A-\lambdaI)^k = dim(Ker(A-\lambdaI)^(k+1))$.
In questo caso l'esponente relativo a $(t-2)$ è $2$, infatti quando fai $(A-2I)^3$ hai che la dimensione del suo nucleo è uguale a quella del nucleo di $(A-2I)^2$, stesso discorso per $(t+2)$, quindi il polinomio minimo è uguale a quello caratteristico. Ricapitolando: la stringa di invarianti per $2$ è $[2, 2, [dim(Ker(A-2I), dim(Ker(A-2I)^2)]$ e quella per $-2$ è $[-2, 2, [dimKer(A+2I), dimKer(A+2I)^2]$, quindi hai: un blocco di Jordan per ogni autovalore la cui taglia massima è al più $2$, chiaramente la somma delle taglie dei blocchi deve fare $4$ quindi la forma di jordan è costituita da due blocchi: uno di taglia massima, cioè di taglia $2$, relativo a $2$, e un altro di taglia massima relativo a $-2$.
In realtà la forma di jordan si poteva dedurre anche senza conti: il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico, quindi è della forma $(t-\lambda)^a(t-lambda)^b$ con $a, b \in {1, 2}$, dal fatto che la molteplicità geometrica di entrambi è $1$ si deduce che la forma è costituita da due blocchi: uno per ogni autovalore, quindi i blocchi devono essere necessariamente $2x2$ e quindi la forma di Jordan è questa: $ ( (2, 1, 0, 0), (0, 2, 0, 0), (0, 0, -2, 1), (0, 0, 0, -2))$
i conti sono giusti solo che devi tenere conto solo delle dimensioni dei nuclei: l'esponente del fattore $t-\lambda$ del polinomio minimo è dato dall'esponente della potenza di $A - \lambdaI$ per cui la dimensione del nucleo si stabilizza, cioè è il minimo intero positivo $k$ per cui $dimKer(A-\lambdaI)^k = dim(Ker(A-\lambdaI)^(k+1))$.
In questo caso l'esponente relativo a $(t-2)$ è $2$, infatti quando fai $(A-2I)^3$ hai che la dimensione del suo nucleo è uguale a quella del nucleo di $(A-2I)^2$, stesso discorso per $(t+2)$, quindi il polinomio minimo è uguale a quello caratteristico. Ricapitolando: la stringa di invarianti per $2$ è $[2, 2, [dim(Ker(A-2I), dim(Ker(A-2I)^2)]$ e quella per $-2$ è $[-2, 2, [dimKer(A+2I), dimKer(A+2I)^2]$, quindi hai: un blocco di Jordan per ogni autovalore la cui taglia massima è al più $2$, chiaramente la somma delle taglie dei blocchi deve fare $4$ quindi la forma di jordan è costituita da due blocchi: uno di taglia massima, cioè di taglia $2$, relativo a $2$, e un altro di taglia massima relativo a $-2$.
In realtà la forma di jordan si poteva dedurre anche senza conti: il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico, quindi è della forma $(t-\lambda)^a(t-lambda)^b$ con $a, b \in {1, 2}$, dal fatto che la molteplicità geometrica di entrambi è $1$ si deduce che la forma è costituita da due blocchi: uno per ogni autovalore, quindi i blocchi devono essere necessariamente $2x2$ e quindi la forma di Jordan è questa: $ ( (2, 1, 0, 0), (0, 2, 0, 0), (0, 0, -2, 1), (0, 0, 0, -2))$
Okay, ci sono, credo di aver capito!
In pratica quando il ker(A-tI)^x=ker (A-tI)^(x+1) mi fermo ed ho trovato la dimensione di quel blocco di Jordan, giusto?
Mente per calcolare la base che la trasforma nella matrice di Jordan?
Quando ho un solo autovalore calcolo (A-tI)^x ed ottengo un determinato Span di vettori. Prendo quindi uno di questi vettori e lo pongo uguale a V_3; svolgo poi (A-tI)(V_3)=V_2 . Poi allo stesso modo calcolo V_1.
La mia base Jordanizzante sarà data da P={V_1,V_2,V_3,V_4} con V_4 linearmente indipendente rispetto agli altri vettori. Poi calcolo l'inversa e ottengo J=P^(-1)AP
Ma quando ho due avutovalori diversi? Ho provato a calcolare i vettori nello stesso modo ma prendendo due vettori da (A-2I) e (A+2I), ma chiaramente non mi torna...
E poi, visto che ho due valori diversi, come faccio a capire l'ordine in cui devo porre i vettori?
Nel senso: se da (A-2I) ottengo i vettori V_1 e V_2, mentre da (A+2I) ottengo i vettori V_3 e V_4
L'ordine in cui sarà la base è P={V_1,V_2,V_3,V_4} oppure P={V_3,V_4,V_1,V_2}? E come faccio a capirlo?
..questi due autovalori diversi mi stanno mandando in confurione
Grazie per la pazienza
In pratica quando il ker(A-tI)^x=ker (A-tI)^(x+1) mi fermo ed ho trovato la dimensione di quel blocco di Jordan, giusto?
Mente per calcolare la base che la trasforma nella matrice di Jordan?
Quando ho un solo autovalore calcolo (A-tI)^x ed ottengo un determinato Span di vettori. Prendo quindi uno di questi vettori e lo pongo uguale a V_3; svolgo poi (A-tI)(V_3)=V_2 . Poi allo stesso modo calcolo V_1.
La mia base Jordanizzante sarà data da P={V_1,V_2,V_3,V_4} con V_4 linearmente indipendente rispetto agli altri vettori. Poi calcolo l'inversa e ottengo J=P^(-1)AP
Ma quando ho due avutovalori diversi? Ho provato a calcolare i vettori nello stesso modo ma prendendo due vettori da (A-2I) e (A+2I), ma chiaramente non mi torna...
E poi, visto che ho due valori diversi, come faccio a capire l'ordine in cui devo porre i vettori?
Nel senso: se da (A-2I) ottengo i vettori V_1 e V_2, mentre da (A+2I) ottengo i vettori V_3 e V_4
L'ordine in cui sarà la base è P={V_1,V_2,V_3,V_4} oppure P={V_3,V_4,V_1,V_2}? E come faccio a capirlo?
..questi due autovalori diversi mi stanno mandando in confurione
Grazie per la pazienza
"DreamyGreen":
Okay, ci sono, credo di aver capito!
In pratica quando il ker(A-tI)^x=ker (A-tI)^(x+1) mi fermo ed ho trovato la dimensione di quel blocco di Jordan, giusto?
No, hai trovato la taglia massimo dei blocchi di Jordan relativi all'autovalore $t$.
Mente per calcolare la base che la trasforma nella matrice di Jordan?
Quando ho un solo autovalore calcolo (A-tI)^x ed ottengo un determinato Span di vettori. Prendo quindi uno di questi vettori e lo pongo uguale a V_3; svolgo poi (A-tI)(V_3)=V_2 . Poi allo stesso modo calcolo V_1.
La mia base Jordanizzante sarà data da P={V_1,V_2,V_3,V_4} con V_4 linearmente indipendente rispetto agli altri vettori. Poi calcolo l'inversa e ottengo J=P^(-1)AP
Non ho capito molto bene quello che fai, qui ho scritto come calcolare una base di Jordan in generale, ti torna il procedimento descritto?
Ma quando ho due avutovalori diversi?)
Quando hai autovalori diversi trovi le basi di jordan dei singoli pezzi, cioè per ogni autovalore $\lambda$ trovi una base di jordan relativa all'endomorfismo $A - \lambdaI$ ristretto a $Ker(A-\lambdaI)^k$ dove $k$ è il minimo intero per cui la successione dei ker si stabilizza. L'unione delle basi trovate fornisce una base di jordan per l'endomorfismo.
Ma si, ma si!! Ho capito!!!!! 
Grazie, mi sei stato veramente d'aiuto
Adesso l'esercizio mi torna: stavo sbagliando nel prendere un vettore per la base Jordanizzante; ma ho capito l'errore!
Grazie veramente tantissimo 
Grazie, mi sei stato veramente d'aiuto
Adesso l'esercizio mi torna: stavo sbagliando nel prendere un vettore per la base Jordanizzante; ma ho capito l'errore!
Grazie veramente tantissimo
Di nulla
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