Segno matrice parametrica
Prendo una forma quadratica parametrica a caso, ad es.
Ne devo studiare il segno.
La matrice associata è $A= [ ( 1 , alpha , 8 ),( alpha , 1 , 0 ),( alpha , 0 , 1 ) ] $. Quindi ho
Elenco le cose di cui non sono certo e di cui, quindi, avrei bisogno di conferma:
1.a. - Per il segno del secondo minore, nell'ipotesi in cui ci siano più termini oltre quello col parametro, devo mettere sempre, all'inizio, $>0$? Nel senso che, qualora avessi ottenuto dal calcolo del determinante soltanto (ad es.) $alpha^2$, il segno sarebbe stato naturalmente positivo (o viceversa negativo); tuttavia in questo caso c'è anche l'$1$, quindi il segno come lo imposto "di default", positivo o negativo?
1.b. (Nell'ipotesi in cui la risposta al punto precedente sia affermativa) - Nel caso in oggetto avrei che $1-alpha^2>0->alpha^2<1->alpha>1uualpha<-1 $, quindi volendo fare lo studio del segno graficamente ho
Se la matrice completa si fermasse qui andrei a discutere il segno dicendo, ad es., che:
- per $alpha>1$ la matrice è indefinita
- per $alpha<-1$ la matrice è indefinita
- per $-1
- per $alpha=-1$ la matrice è semidefinita negativa
Lo stesso potrei fare ad es. nel caso in cui la matrice fosse $3x3$ (come in questo caso) ma nell'eventualità in cui avessi un determinante per il terzo minore che fosse soltanto (che ne so...) $-8alpha$ (dato che so per certo che $-8alpha<0$).
Tuttavia, nel caso specifico, ho un determinante pari a $1-8alpha$, da cui $alpha<1/8$. La domanda è: questo risultato andrebbe ad aggiungersi al grafico del segno di cui sopra? Se sì, che cosa otterrei dallo studio del segno della matrice? Se no, come dovrei fare?
$x^2+y^2+z^2+2alphaxy+8xz+alphazx$
Ne devo studiare il segno.
La matrice associata è $A= [ ( 1 , alpha , 8 ),( alpha , 1 , 0 ),( alpha , 0 , 1 ) ] $. Quindi ho
$A_(\1)=1>0$
$A_(\2)= | ( 1 , alpha ),( alpha , 1 ) | ->det| ( 1 , alpha ),( alpha , 1 ) |=1-alpha^2 $
$A_(\3)=| ( 1 , alpha , 8 ),( alpha , 1 , 0 ),( alpha , 0 , 1 ) | ->det| ( 1 , alpha , 8 ),( alpha , 1 , 0 ),( alpha , 0 , 1 ) |=1-8alpha$
Elenco le cose di cui non sono certo e di cui, quindi, avrei bisogno di conferma:
1.a. - Per il segno del secondo minore, nell'ipotesi in cui ci siano più termini oltre quello col parametro, devo mettere sempre, all'inizio, $>0$? Nel senso che, qualora avessi ottenuto dal calcolo del determinante soltanto (ad es.) $alpha^2$, il segno sarebbe stato naturalmente positivo (o viceversa negativo); tuttavia in questo caso c'è anche l'$1$, quindi il segno come lo imposto "di default", positivo o negativo?
1.b. (Nell'ipotesi in cui la risposta al punto precedente sia affermativa) - Nel caso in oggetto avrei che $1-alpha^2>0->alpha^2<1->alpha>1uualpha<-1 $, quindi volendo fare lo studio del segno graficamente ho
------------- -1 ---------------- +1 ---------------
- + -
- + -
Se la matrice completa si fermasse qui andrei a discutere il segno dicendo, ad es., che:
- per $alpha>1$ la matrice è indefinita
- per $alpha<-1$ la matrice è indefinita
- per $-1
- per $alpha=-1$ la matrice è semidefinita negativa
Lo stesso potrei fare ad es. nel caso in cui la matrice fosse $3x3$ (come in questo caso) ma nell'eventualità in cui avessi un determinante per il terzo minore che fosse soltanto (che ne so...) $-8alpha$ (dato che so per certo che $-8alpha<0$).
Tuttavia, nel caso specifico, ho un determinante pari a $1-8alpha$, da cui $alpha<1/8$. La domanda è: questo risultato andrebbe ad aggiungersi al grafico del segno di cui sopra? Se sì, che cosa otterrei dallo studio del segno della matrice? Se no, come dovrei fare?
Risposte
prima di continuare a leggere il resto del problema ti blocco all'inizio: sei sicuro che quella sia la forma quadratica? mi sai che nell'ultimo termine volevi inventarti altre incognite. e comunque mi sembra che la matrice rappresentativa sia sbagliata lo stesso. dove hai 8 dovrebbe essere 4 ($8/2$) o mi sono già fuso all'inizio? 
No, ho messo $8xz$ e $alphazx$ apposta. Per lo meno sapevo che quando hai un termine in $xy$ e uno in $yx$ vanno inseriti entrambi i loro coefficienti senza dividere per $2$...
In ogni caso ho provato a costruire una matrice parametrica che avesse anche per $detA_(\3)$ un termine del tipo $alpha +- a$, per cercare di capire se lo studio del segno della disequazione relativo ad $A_(\2)$ dovesse includere anche quello relativo ad $A_(\3)$...
Ad es. quest'altra forma quadratica: $x^2+y^2+2alphaxy+2xz$. Data la matrice associata $A= [ ( 1 , alpha , 1 ),( alpha , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ) ] $ i minori sono:
e quindi positiva per valori interni
Questo $alpha>1$ si aggiunge allo studio della disequazione fatto per $A_(\2)$? Sennò non capisco come risolverla...sto facendo confusione mi sa non lo so
Ad es. quest'altra forma quadratica: $x^2+y^2+2alphaxy+2xz$. Data la matrice associata $A= [ ( 1 , alpha , 1 ),( alpha , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ) ] $ i minori sono:
$A_(\1)=1>0$
$A_(\2)= [ ( 1 , alpha ),( alpha , 1 ) ] $ da cui $alpha>1uualpha<-1$
e quindi positiva per valori interni
$A_(\3)=[ ( 1 , alpha , 1 ),( alpha , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ) ]$ da cui $alpha>1$
Questo $alpha>1$ si aggiunge allo studio della disequazione fatto per $A_(\2)$? Sennò non capisco come risolverla...sto facendo confusione mi sa non lo so
ecco, questo per esempio non lo sapevo! come non detto allora. preno quindi la tua matrice rappresentativa 
$A_3$ a me viene $1-8alpha -alpha^2$ prova a ricontrollare.
per quanto riguarda i tuoi dubbi:
non è che imponi qualcosa di default. fai un po' come con tutti i parametri, studi caso per caso. per farlo consideri prima l'intervallo di valori del parametro per cui quel determinante è positivo e quando è negativo.
nel tuo caso hai imposto per esempio $>0$ e quindi hai che se $alpha in (-1,1)$ hai che il secondo det è positivo. mi chiedo adesso cosa succede, in quel range di valori, ad $A_3$ (controllando quale sia il determinante)
a questo punto trai le tue conclusioni.
la parte che ho sottolineato dovrebbe rispondere al tuo quesito finale. in quell'intervallo, se avessi $1-8alpha$, hai che questo è positivo solo in $alpha in (-1,1/8)$
dopodichè rifai i ragionamenti con il secondo determinante negativo (cioè $alpha < -1 vv alpha >1)$)
$A_3$ a me viene $1-8alpha -alpha^2$ prova a ricontrollare.
per quanto riguarda i tuoi dubbi:
"mobley":
1.a. - Per il segno del secondo minore, nell'ipotesi in cui ci siano più termini oltre quello col parametro, devo mettere sempre, all'inizio, >0? Nel senso che, qualora avessi ottenuto dal calcolo del determinante soltanto (ad es.) α2, il segno sarebbe stato naturalmente positivo (o viceversa negativo); tuttavia in questo caso c'è anche l'1, quindi il segno come lo imposto "di default", positivo o negativo?
non è che imponi qualcosa di default. fai un po' come con tutti i parametri, studi caso per caso. per farlo consideri prima l'intervallo di valori del parametro per cui quel determinante è positivo e quando è negativo.
nel tuo caso hai imposto per esempio $>0$ e quindi hai che se $alpha in (-1,1)$ hai che il secondo det è positivo. mi chiedo adesso cosa succede, in quel range di valori, ad $A_3$ (controllando quale sia il determinante)
a questo punto trai le tue conclusioni.
la parte che ho sottolineato dovrebbe rispondere al tuo quesito finale. in quell'intervallo, se avessi $1-8alpha$, hai che questo è positivo solo in $alpha in (-1,1/8)$
dopodichè rifai i ragionamenti con il secondo determinante negativo (cioè $alpha < -1 vv alpha >1)$)
"mobley":
Data la matrice associata ecc ecc
in questo caso prova a ragionare su quello che hai trovato. hai che il secondo determinante è positivo solo per valori interni di $alpha$ a -1 e 1 (solo per questi, per gli altri è negativo). il terzo invece è positivo solo quando $alpha > 1$ quindi quando il secondo è positivo il terzo è negativo e viceversa.
La matrice associata ad una quadrica è sempre simmetrica
Allora sei d'accordo con me che in qualche modo gli studi sul segno si sovrappongono!
Fino ad $A_(\2)$ ho che $alpha$ è positivo tra $-1$ e $1$. Sapendo ciò, qualora dovesse risultare un $detA_(\3)=1-8alpha$ (hai ragione sul fatto che sia sbagliato...la fretta di scrivere il messaggio
), avrei che la matrice è definita positiva sia per $1/81$.
In pratica come se stessi studiando un sistema di disequazioni...
Fino ad $A_(\2)$ ho che $alpha$ è positivo tra $-1$ e $1$. Sapendo ciò, qualora dovesse risultare un $detA_(\3)=1-8alpha$ (hai ragione sul fatto che sia sbagliato...la fretta di scrivere il messaggio
), avrei che la matrice è definita positiva sia per $1/8In pratica come se stessi studiando un sistema di disequazioni...
"mobley":
Allora sei d'accordo con me che in qualche modo gli studi sul segno si sovrappongono!
Fino ad A2 ho che α è positivo tra −1 e 1. Sapendo ciò, qualora dovesse risultare un detA3=1−8α (hai ragione sul fatto che sia sbagliato...la fretta di scrivere il messaggio ), avrei che la matrice è definita positiva sia per 18<α<1 che per α<−1, mentre è indefinita per −1<α<18 e α>1.
In pratica come se stessi studiando un sistema di disequazioni...
in sostanza mi sembra di si..
"Ernesto01":
La matrice associata ad una quadrica è sempre simmetrica
hai ragione ed era forse da farglielo notare ma se avessi fissato il parametro ad $alpha=8$ non avrei risposto al dubbio.
Ok Ernesto, quindi con questo mi stai dicendo che non dovrebbe esserci un caso in cui più minori prevedano lo studio della variabile?
no, ha solo fatto notare (giustamente) che in questo caso particolare il parametro era inutile perchè lo si poteva (doveva) fissare.
poni però il caso che nella tua matrice al posto di 8 tu avessi $alpha$. in questo caso la matrice è simmetrica $AA alpha$ e quindi non devi fissare niente e può capitare che ti si presentino i casi che abbiamo discusso.
poni però il caso che nella tua matrice al posto di 8 tu avessi $alpha$. in questo caso la matrice è simmetrica $AA alpha$ e quindi non devi fissare niente e può capitare che ti si presentino i casi che abbiamo discusso.
Ok allora: sistema di disequazioni, vedrò di ricordarmelo!
Grazie a tutti!
Grazie a tutti!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo