Esercizio su endomorfismo con incognita
salve, è il mio primo post quindi perdonatemi se farò qualche errore riguardo il regolamento
Sia $ (v1,v2,v3,v4) $ una base di uno spazio vettoriale $ V $ . dato un parametro $ k $, si consideri l'unico endomorfismo $ f $ tale che
$ f(v1)=v2 $
$ f(v2)=kv1+v3 $
$ f(v3)=kv1+v4 $
$ f(v4)=2v1+kv2+kv3+kv4 $
a) determinare i valori di $ k $ per i quali $f$ risulta iniettivo.
b) determinare una base del nucleo di $f$ in corrispondenza dei valori di $k$ per i quali esso non è iniettivo.
c) si fissi ora $k=0$. Stabilire se esiste una base di $V$ rispetto alla quale la matrice associata a $f$ risulta diagonale.
a) ho proceduto scrivendo la matrice associata alla base e ho imposto che $kerf=0$, trovando come valori $k\ne+-1$
l'unico dubbio che ho sul primo punto è sulla matrice associata: é giusta?
$((0,1, 0 ,0),(k, 0, 1, 0),(0, 1, 0, k),(2, k, k, k ))$
se è giusta non dovrei aver avuto problemi per i primi due punti.
Non mi è invece chiaro come procedere per il punto c). Devo ricavarmi gli autovalori o c'è un modo più semplice?
Sia $ (v1,v2,v3,v4) $ una base di uno spazio vettoriale $ V $ . dato un parametro $ k $, si consideri l'unico endomorfismo $ f $ tale che
$ f(v1)=v2 $
$ f(v2)=kv1+v3 $
$ f(v3)=kv1+v4 $
$ f(v4)=2v1+kv2+kv3+kv4 $
a) determinare i valori di $ k $ per i quali $f$ risulta iniettivo.
b) determinare una base del nucleo di $f$ in corrispondenza dei valori di $k$ per i quali esso non è iniettivo.
c) si fissi ora $k=0$. Stabilire se esiste una base di $V$ rispetto alla quale la matrice associata a $f$ risulta diagonale.
a) ho proceduto scrivendo la matrice associata alla base e ho imposto che $kerf=0$, trovando come valori $k\ne+-1$
l'unico dubbio che ho sul primo punto è sulla matrice associata: é giusta?
$((0,1, 0 ,0),(k, 0, 1, 0),(0, 1, 0, k),(2, k, k, k ))$
se è giusta non dovrei aver avuto problemi per i primi due punti.
Non mi è invece chiaro come procedere per il punto c). Devo ricavarmi gli autovalori o c'è un modo più semplice?
Risposte
non vorrei che l'ora giocasse brutti scherzi, ma la terza riga non dovrebbe essere $k 0 0 1$?
per il punto c invece devi calcolare si autovalori ed autovettori.
per il punto c invece devi calcolare si autovalori ed autovettori.
Si scusami, ho sbagliato mentre trascrivevo la matrice al pc, ma nello svolgimento ho usato la riga che hai scritto te. Quindi a parte quell'errore di battitura è giusta?
si
Ok, grazie 
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