Esercizio di topologia

[monica_n]

Ciao a tutti.
Ho un problema con l'esercizio di topologia in allegato. Per il punto 1) avevo pensato che visto che una base per la topologia euclidea sono proprio gli intervalli aperti e che Q è sottoinsieme di R, il tutto fosse già dimostrato. Ma così non è, o almeno così mi ha detto il professore, ed io non capisco perché. Dovrei dimostrare che ogni aperto della topologia si può scrivere come unione di aperti di B1? E come lo faccio? E quando entra in gioco la topologia ecuclidea? Potreste aiutarmi? Non so proprio come ragionare quando si tratta di topologia
Grazie mille

[killing_buddha]

Entrambe le verifiche si fanno usando la mera definizione di base di una topologia. Per dimostrare che le due topologie sono diverse, devi dimostrare che i due spazi non possono essere omeomorfi (chiaramente non possono esserlo attraverso l'identità: se ti è sufficiente dimostrare questo il problema si semplifica perché è sufficiente trovare un aperto dell'una topologia che non è aperto nell'altra, e ce ne sono molti, per esempio $[0,1)$).

Solitamente questo tipo di cose si fa per assurdo: supponi che un omeomorfismo esista, e trova un assurdo (per esempio che esiste un $[a,b)$ aperto nella topologia euclidea, il che è assurdo).

[monica_n]

"killing_buddha":Entrambe le verifiche si fanno usando la mera definizione di base di una topologia. Per dimostrare che le due topologie sono diverse, devi dimostrare che i due spazi non possono essere omeomorfi (chiaramente non possono esserlo attraverso l'identità: se ti è sufficiente dimostrare questo il problema si semplifica perché è sufficiente trovare un aperto dell'una topologia che non è aperto nell'altra, e ce ne sono molti, per esempio $[0,1)$).

Solitamente questo tipo di cose si fa per assurdo: supponi che un omeomorfismo esista, e trova un assurdo (per esempio che esiste un $[a,b)$ aperto nella topologia euclidea, il che è assurdo).

Intanto grazie per avermi aiutato ma il mio problema sta a monte, cioè proprio come dimostrarlo con la definizione. So che devo dimostarare che un aperto della topologia euclidea deve essere unione di elementi di B1 ma come si fa?

[Ernesto011]

Io farei così.
Noti che la base $B_1$ è contenuta nella base che induce la topologia euclidea $B_epsilon={(x,y) | x,y in RR}$, quindi la topologia euclidea è più fine della topologia indotta dalla base $B_1$.
Poi dimostri che ogni elemento di $B_epsilon$ è unione di elementi di $B_1$ (facile ricordando che $QQ$ è denso in $RR$)
E poi noti che ogni insieme aperto $A$ della euclidea è per definizione unione di elementi di $B_epsilon$, ogni elemento di $B_epsilon$ è unione è elementi di $B_1$, da cui segue che $A$ è unione di elementi di $B_1$.
Quindi necessariamente $tau_1=tau_epsilon$