Equazione agli autovalori

[FemtoGinny]

Salve forum,
Sto svolgendo un esercizio nel quale l'equazione agli autovalori $ Tx=zx $ con $ zin C $ (complessi) per $ k=1,2,3... $ mi fornisce $ x_(2k)=zx_(2k-1) $ e $ x_(2k-1)=zx_(2k) $ .
A questo punto dice che da questa coppia di equazioni risulta $ x_(2k-1)=z^2x_(2k-1) $ e $ x_(2k)=z^2x_(2k) $ ma io non capisco quali passaggi siano stati fatti per giungere a questa conclusione.
Bisogno trattare le due equazioni agli autovalori come un sistema? In tal caso, come si risolve?
Grazie mille in anticipo :/

[anonymous_0b37e9]

Basta sostituire $[x_(2k)=z*x_(2k-1)]$ nella seconda e $[x_(2k-1)=z*x_(2k)]$ nella prima:

$\{(x_(2k)=z*x_(2k-1)),(x_(2k-1)=z*x_(2k)):} rarr \{(x_(2k)=z*z*x_(2k)),(x_(2k-1)=z*z*x_(2k-1)):} rarr \{(x_(2k)=z^2*x_(2k)),(x_(2k-1)=z^2*x_(2k-1)):}$

Quindi:

$\{(x_(2k)*(1-z^2)=0),(x_(2k-1)*(1-z^2)=0):} rarr \{(x_(2k)=0 vv z=+-1),(x_(2k-1)=0 vv z=+-1):} rarr [z=+-1]$

In definitiva:

$\{(z=1),(x_(2k)=x_(2k-1)):} vv \{(z=-1),(x_(2k)=-x_(2k-1)):}$

[FemtoGinny]

Ti ringrazio infinitamente, ho capito senza problemi.
Volevo però chiederti se potevi darmi una dritta con la seconda parte dell'esercizio, in quanto ho provato a seguire lo stesso metodo ma ottengo dei risultati diversi da quelli della soluzione.
Il testo dice che a questo punto si studia l'equazione $ (zI-T)x=y $ la quale in termini di componenti $ k=1,2,3... $ fornisce $ zx_(2k-1)-x_(2k)=y_(2k-1) $ e $ -x_(2k-1)+zx_(2k)=y_(2k) $ e fino a qui tutto mi torna.
Ora però dice che questa coppia di equazioni deve essere pensata come un sistema lineare nelle incognite $ x_(2k-1),x_(2k) $ che ammette soluzione per $ y_(2k-1),y_(2k) $ arbitrari quando il determinante del sistema è diverso da 0, cioè per $ z^2-1!= 0 $
Ammetto che non riesco a riprodurre i passaggi, e gli esercizi sono tutti su questo genere, quindi capire il meccanismo di questo probabilmente mi permetterebbe di affrontare gli altri
Grazie in anticipo!

[anonymous_0b37e9]

Se ho capito bene, la prima parte dell'esercizio chiede di determinare i vettori $vecx$ tali che:

$[Tvecx=zIvecx] rarr [(zI-T)vecx=0]$

insomma, gli autovalori e gli autovettori per intenderci. A questo punto, la seconda parte dovrebbe chiedere di determinare i vettori $vecx$ tali che:

$[Tvecx=zIvecx-vecy] rarr$$[(zI-T)vecx=vecy]$

per ogni vettore $vecy$ fissato a piacere ma diverso dal vettore nullo, visto che quest'ultimo caso è già stato trattato nel corso della prima parte. Intanto, se $[z=+-1]$, i vettori $vecx$ non possono esistere visto che soddisfano la medesima relazione proprio con $[vecy=0]$:

$[(zI-T)vecx=0]$

caso al quale non siamo più interessati. Ad ogni modo, per un qualche motivo, hai scritto che si tratta di risolvere il seguente sistema:

$\{(x_(2k)=z*x_(2k-1)-y_(2k-1)),(x_(2k-1)=z*x_(2k)-y_(2k)):}$

che, correttamente, nel caso in cui $[vecy=0]$ si riduce a quello della prima parte:

$\{(x_(2k)=z*x_(2k-1)),(x_(2k-1)=z*x_(2k)):}$

Ebbene:

$\{(x_(2k)=z*x_(2k-1)-y_(2k-1)),(x_(2k-1)=z*x_(2k)-y_(2k)):} rarr \{(z*x_(2k-1)-x_(2k)=y_(2k-1)),(-x_(2k-1)+z*x_(2k)=y_(2k)):} $

visto che il vettore $vecx$ è incognito e il vettore $vecy$ è un termine noto. Non rimane che risolvere mediante il teorema di Cramer, ricordando che la condizione $[z ne +-1]$ assicura che, per ogni vettore $[vecy ne vec0]$ e per ogni $[z ne +-1]$, il vettore $vecx$ che soddisfa la consegna è unico:

$((z,-1),(-1,z))((x_(2k-1)),(x_(2k)))=((y_(2k-1)),(y_(2k))) rarr ((x_(2k-1)),(x_(2k)))=1/(z^2-1)((z,1),(1,z))((y_(2k-1)),(y_(2k))) rarr$

$rarr \{(x_(2k-1)=z/(z^2-1)y_(2k-1)+1/(z^2-1)y_(2k)),(x_(2k)=1/(z^2-1)y_(2k-1)+z/(z^2-1)y_(2k)):}$

[FemtoGinny]

Grazie infinite! Spiegazione chiarissima, ora riesco a fare anche gli altri esercizi del genere, grazie!