Centro di una conica
Ciao a tutti 
Mi sono appena iscritto ed ho già una domandina da porvi!
Sto preparando l'esame di algebra lineare e geometria e studiando le coniche a centro mi sono accorto di una cosa:
Le coordinate $(x,y)$ del centro di una conica (ovviamente di una conica a centro) presentano tutte al denominatore il determinante della matrice dei termini quadratici, o al più contengono un suo fattore.
Ok, provo a spiegarmi:
Se considero la conica di equazione: $2x^2+4xy+5y^2+2x-2y+1=0$
La matrice associata alla conica è: $A=((2,2,1),(2,5,-1),(1,-1,1))$
La matrice dei termini quadratici è dunque: $B=((2,2),(2,5))$ il cui determinante è $Det(B)=6$
Ed essendo $Det(B)>0$ si tratta di un ellisse.
Ora vado al sodo.
Per come mi hanno insegnato, le coordinate del centro di trovano risolvendo il sistema:
${( 2x+2y+1=0 ),(2x+5y-1=0):}$
La cui soluzione $(-7/6,2/3)$ Fornisce le coordinate del centro.
Ora, non che sia così difficile risolvere un sistema del genere, ma giusto per pura curiosità. Al denominatore di questi due punti compaiono i numeri $6$ e $3$. Il primo è proprio il $Det(B)$, il secondo è un fattore di $6$
Per questa volta vi prego di risparmiarmi altri esempi perché è la prima volta che uso Latex in vita mia
,ma credetemi sulla parola o provate voi stessi: Ogni volta che si risolve un esercizio del genere in cui bisogna determinare il centro di una conica, trovate le coordinate del centro vi accorgerete che contengono SEMPRE al denominatore o il Determinate della matrice dei termini quadratici o un suo fattore.
Non credo onestamente di aver fatto la scoperta del secolo ma la mia domanda è: esiste dunque una formula "dedicata" e veloce per trovare il centro tenendo conto di questa cosa? Grazie!
Mi sono appena iscritto ed ho già una domandina da porvi! Sto preparando l'esame di algebra lineare e geometria e studiando le coniche a centro mi sono accorto di una cosa:
Le coordinate $(x,y)$ del centro di una conica (ovviamente di una conica a centro) presentano tutte al denominatore il determinante della matrice dei termini quadratici, o al più contengono un suo fattore.
Ok, provo a spiegarmi:
Se considero la conica di equazione: $2x^2+4xy+5y^2+2x-2y+1=0$
La matrice associata alla conica è: $A=((2,2,1),(2,5,-1),(1,-1,1))$
La matrice dei termini quadratici è dunque: $B=((2,2),(2,5))$ il cui determinante è $Det(B)=6$
Ed essendo $Det(B)>0$ si tratta di un ellisse.
Ora vado al sodo.
Per come mi hanno insegnato, le coordinate del centro di trovano risolvendo il sistema:
${( 2x+2y+1=0 ),(2x+5y-1=0):}$
La cui soluzione $(-7/6,2/3)$ Fornisce le coordinate del centro.
Ora, non che sia così difficile risolvere un sistema del genere, ma giusto per pura curiosità. Al denominatore di questi due punti compaiono i numeri $6$ e $3$. Il primo è proprio il $Det(B)$, il secondo è un fattore di $6$
Per questa volta vi prego di risparmiarmi altri esempi perché è la prima volta che uso Latex in vita mia
,ma credetemi sulla parola o provate voi stessi: Ogni volta che si risolve un esercizio del genere in cui bisogna determinare il centro di una conica, trovate le coordinate del centro vi accorgerete che contengono SEMPRE al denominatore o il Determinate della matrice dei termini quadratici o un suo fattore. Non credo onestamente di aver fatto la scoperta del secolo
ma la mia domanda è: esiste dunque una formula "dedicata" e veloce per trovare il centro tenendo conto di questa cosa? Grazie!
Risposte
Per come la vedo io la cosa si spiega come segue. Le coordinate omogenee del centro C di una conica
sono date dai complementi algebrici dei termini della terza riga della matrice della conica, ovvero
sono i complementi algebrici dei termini $a_{31},a_{32},a_{33}$ , complementi che per semplicità
indico con $C_{31},C_{32},C_{33}$. E quindi è $ C=(C_{31},C_{32},C_{33})$
Pertanto in coordinate non omogenee detto centro, se la conica non è una parabola, risulta essere:
$C=(C_{31}/C_{33},C_{32}/C_{33})$
sono date dai complementi algebrici dei termini della terza riga della matrice della conica, ovvero
sono i complementi algebrici dei termini $a_{31},a_{32},a_{33}$ , complementi che per semplicità
indico con $C_{31},C_{32},C_{33}$. E quindi è $ C=(C_{31},C_{32},C_{33})$
Pertanto in coordinate non omogenee detto centro, se la conica non è una parabola, risulta essere:
$C=(C_{31}/C_{33},C_{32}/C_{33})$
Hai ragione, funziona! 
Grazie $10^3$!
Grazie $10^3$!
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