Cos'è il fibrato dei getti?

[otta96]

In un corso che ho seguito quest'anno di introduzione alle PDE, a un certo punto è sbucato fuori questo fantomatico "fibrato dei getti di ordine $k$ di una varietà differenziabile", il professore ce lo ha introdotto per arrivare a dire che una PDE (di ordine $k$) in cui la soluzione ha come dominio una $n$-varietà $M$, non è altro che "una ipersuperficie nel fibrato dei getti (di ordine $k$) di $M$", questa cosa però era più una "filastrocca" che una cosa a noi comprensibile (in quanto studenti del terzo anno di matematica), anche perché nessuno ci ha capito nulla di cosa veramente fosse il fibrato dei getti, lui parlava di continuo di coordinate e di cambi di coordinate ma io non sono riuscito nemmeno a capire quali siano le fibre di questo fibrato (ad un certo punto ho pensato che potessero essere $(C^0(M))^(n^k)\times…\timesC^(k-1)(M)^n\timesC^k(M)$ perché se non ho capito male dovrebbe racchiudere l'idea di considerare una funzione insieme a tutte le sue derivate fino all'ordine $k$ [in realtà sono abbastanza sicuro di avere capito male quali siano le fibre]), io ho cercato un po' ma sia si wikipedia che su nLab ci ho capito poco o niente, quindi vi chiedo di spiegarmi questi concetti in modo un po' più elementare, possibilmente.
Un'altra cosa: se non ho capito male il fibrato dei getti dovrebbe essere un fibrato vettoriale, cioè le fibre sono spazi vettoriali, ma quello che mi chiedevo è se è possibile avere un fibrato vettoriale di una $n$-varietà che come fibra abbia uno spazio di dimensione infinita (come sarebbe nell'improbabile caso che la mia ipotesi di prima fosse giusta).
Ringrazio fin d'ora chi si prenderà la briga di rispondermi

cioè, almeno, killing_buddha

P.S. Per fibre intendo ovviamente quelle della proiezione del fibrato dei getti sulla varietà, che esiste perché è un fibrato.
P.P.S. Anche se non dovessi riuscire a capire cos'è il fibrato dei getti, vorrei almeno capire quali sono le fibre.

[j18eos]

Non ho mai usato questi "gingilli"; l'unico riferimento che conosco è nel KMS Book, al capitolo sui jet spaces...

Prova a darci un'occhiata.

P.S.: ti ricordo che il crossposting non è molto carino; esiste il bump posting.

[otta96]

Scusa se ti rispondo solo ora, ma sei sicuro che sia crossposting? Io non pensavo…
P.S. Cos'è il KMS?
P.P.S. Come si fa il bump?

[vict85]

"The Geometry of Jet Bundles" di Saunders è penso un po'più accessibile del KMS. Seppur entrambi diano per scontata una preparazione magistrale in geometria differenziale (o almeno che tu stia studiando a quel livello). Il KMS anche una certa dimestichezza con altri concetti...

KMS sta per "Natural operations in differential geometry" e lo trovi per esempio nelle pagine web degli autori. Ma è molto avanzato per uno studente della triennale medio.

[j18eos]

KMS è l'acronimo dei cognomi degli autori di tale libro di testo; essendo nomi ostici da scrivere, viene semplicemente chiamato KMS Book.

[killing_buddha]

Ma cos'è che non capisci? Forse se dici questo è più facile aiutarti.

Se hai presente come viene costruito lo spazio tangente, poi, l'idea non è molto diversa.

[otta96]

Sostanzialmente non mi è chiaro come è definito e quali sono le fibre.
Comunque lo spazio e il fibrato tangente ce li ho abbastanza chiari, se si può spiegare quello dei getti con un'analogia con quello tangente forse potrei capirla...

[vict85]

Come hai definito gli spazi tangenti?

[otta96]

Come combinazioni lineari delle derivate parziali di una parametrizzazione nel punto che ha come dominio $RR^n$.

[vict85]

Ok, invece di limitarti alle sole derivate prime, considera le combinazioni di tutte le derivate fino al grado \(r\). La logica è quella.
Per capire come è fatto lo spazio potrebbe convenirti metterlo in relazione con lo spazio dei polinomi in n variabili di grado al più r (quello con valutazione 0 in 0).

[killing_buddha]

E dopo che l'hai fatto, identificare due funzioni le cui derivate parziali coincidono fino al grado $r$[nota]Il "grado" di una derivazione \(\frac{\partial^{|a|}}{\partial_{a_1}\dots\partial_{a_n}}\) è la somma \(|a|=\sum a_i=r\)[/nota] è una relazione di equivalenza che genera inclusioni
\[
\dots \to J^2(M)\to J^1(M) \to M
\]

[otta96]

"vict85":Ok, invece di limitarti alle sole derivate prime, considera le combinazioni di tutte le derivate fino al grado \(r\). La logica è quella.
Per capire come è fatto lo spazio potrebbe convenirti metterlo in relazione con lo spazio dei polinomi in n variabili di grado al più r (quello con valutazione 0 in 0).

Ma quindi il fibrato dei getti di ordine $1$ è il fibrato tangente?

[killing_buddha]

https://tinyurl.com/y86yknz7

[otta96]

"killing_buddha":https://tinyurl.com/y86yknz7

Ok, dovrei averci capito qualcosina di più da questo link.
Se non capito male allora il fibrato tangente è veramente il fibrato dei getti di ordine $1$, giusto?
Inoltre volevo anche un'altra conferma, quello che avevo detto all'inizio (cioè che le equazioni differenziali sono ipersuperfici nel fibrato dei getti) a che fibrato dei getti si sta riferendo? Faccio questa domanda perché io pensavo inizialmente che i fibrati dei getti fossero unici data una varietà, ma su Wikipedia è spiegato che dipende dal dominio delle funzioni, io direi che il fibrato dei getti che interessa a me è quello con $RR$, cioè $J_0^k(RR,M)$, è corretto?