Dubbio funzione d'intersezione
Salve, sono nuovo. Preparandomi per un esame, mi sono imbattuto nel seguente esercizio:
Trovare i punti a minima e massima distanza dall’origine dell’ellisse ottenuto
tagliando l’ellissoide $(x^2)/4+(y^2)/4+z^2=1$ con il piano $x+y+z=1$.
Ora, due cose:
1. L'ellissoide d'intersezione è $(5x^2)/4+(5y^2)/4+2xy-2x-2y=0$? Per ottenerla, ho semplicemente isolato la z nella seconda eq e sostituito nella prima. Se da una parte mi sembra ragionevole, dall'altra no, dato che le funzioni che s'intersecano sono ambedue in R3 mentre questa che mi è venuta è in R2.
2. Per trovare i punti di min e max distanza da O devo fare la formula di ottimizzazione della distanza dall'origine $(x-0)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2$, fare il vincolo con due Lagrangiane (un moltiplicatore per ciascun vincolo) e mettere a sistema la derivata in x del quadrato della distanza=derivata in x della somma delle lagrangiane con le stesse derivate in y in z e quelle nei vincoli, per un totale di cinque equazioni a cinque incognite, giusto? E poi calcolo la funzione ellisse in ciascun punto (come con la ricerca dei min e max assoluti), vedendo quelli che danno valore minore (punto di minima distanza) e maggiore (punto di massima distanza). Corretto?
Grazie in anticipo.
Trovare i punti a minima e massima distanza dall’origine dell’ellisse ottenuto
tagliando l’ellissoide $(x^2)/4+(y^2)/4+z^2=1$ con il piano $x+y+z=1$.
Ora, due cose:
1. L'ellissoide d'intersezione è $(5x^2)/4+(5y^2)/4+2xy-2x-2y=0$? Per ottenerla, ho semplicemente isolato la z nella seconda eq e sostituito nella prima. Se da una parte mi sembra ragionevole, dall'altra no, dato che le funzioni che s'intersecano sono ambedue in R3 mentre questa che mi è venuta è in R2.
2. Per trovare i punti di min e max distanza da O devo fare la formula di ottimizzazione della distanza dall'origine $(x-0)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2$, fare il vincolo con due Lagrangiane (un moltiplicatore per ciascun vincolo) e mettere a sistema la derivata in x del quadrato della distanza=derivata in x della somma delle lagrangiane con le stesse derivate in y in z e quelle nei vincoli, per un totale di cinque equazioni a cinque incognite, giusto? E poi calcolo la funzione ellisse in ciascun punto (come con la ricerca dei min e max assoluti), vedendo quelli che danno valore minore (punto di minima distanza) e maggiore (punto di massima distanza). Corretto?
Grazie in anticipo.
Risposte
Sei sicuro che si intersechino in $RR^2$?
Piuttosto direi che l’intersezione è ovviamente una figura piana...
Se poni $E_1(x,y,z)=1$ e $E_2(x,y,z)=1$ i due sistemi allora la soluzione del problema sarà l’insieme
Che sta in $RR^3$
Che poi possa essere immerso in $RR^2$ è un’altra cosa
Piuttosto direi che l’intersezione è ovviamente una figura piana...
Se poni $E_1(x,y,z)=1$ e $E_2(x,y,z)=1$ i due sistemi allora la soluzione del problema sarà l’insieme
$S={(x,y,z) inRR^3: E_1(x,y,z)=E_2(x,y,z)=1}$
Che sta in $RR^3$
Che poi possa essere immerso in $RR^2$ è un’altra cosa
Grazie per la risposta. Ah già è vero, non stanno in R2. Errore concettuale mio. Ad ogni modo la figura che ho ottenuto e che ho scritto $(5x^2)/4 + (5y^2)/4 + 2xy -2x -2y = 0$ è la soluzione esatta come intersezione delle due funzioni.
Riguardo al punto 2, confermi quello che ho scritto oppure ho sbagliato qualcosa?
Riguardo al punto 2, confermi quello che ho scritto oppure ho sbagliato qualcosa?
Si basta considerare i punti che siano contemporaneamente critici per entrambi i vincoli
In quanto ti basta porre che $(x,y,z)$ soddisfi
In quanto ti basta porre che $(x,y,z)$ soddisfi
${(nablaf(x,y,z)=lambdanablag_1(x,y,z)+munablag_2(x,y,z)),(x^2/4+y^2/4+z^2=1),(x+y+z=1):}$
Ah beh sì, la figura d'intersezione non ha la z nell'equazione perché è una superficie bidimensionale, corretto? Quindi, in generale, in tutti i casi, anche questo, per trovare una figura d'intersezione tra due solidi mi basta isolare la z in una delle due equazioni e sostituirla nell'altra, giusto?
Una figura ‘di intersezione’, come la chiami tu, deriva semplicemente da un sistema(compatibile) di tot equazioni.
Poi puoi isolare la variabile che ti sembra più utile da isolare.
Poi puoi isolare la variabile che ti sembra più utile da isolare.
Giusto, è vero. Grazie mille anto_zoolander.
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